1. Дурын бодит $x, y$-ийн хувьд $f(x^2-2y)\geq f(x^2-3y)$ байх $f$ функц өгөгдсөн байг. Хэрэв $f(2021)=58$ бол $f(2022)$-ийн утгыг ол.

Хариу: 58

2. $a$, $b$, $c$ нь
$a^2+b^2+c^2 - \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = 8(a+b+c) - 8 (ab+bc+ca)$
ба $abc =1$ байх $1$-ээс ялгаатай бодит тоонууд бол $$\dfrac{2}{1-a} + \dfrac{2}{1-b} + \dfrac{2}{1-c}$$ илэрхийллийн утгыг ол.

Хариу: 3

3. Нэгэн улсад тус бүр нь бүхэл төгрөгөөр үнэлэгдэх 3 төрлийн цахим зоостой байг. Болд, Мишээл, Нямаа гуравт эдгээр цахим зоосноос дор хаяж нэг нэг байгаа. Болдод 28 төгрөгөөр үнэлэгдэх яг дөрвөн цахим зоос, Мишээлд 21 төгрөгөөр үнэлэгдэх яг таван цахим зоос, Нямаад яг гурван цахим зоос байгаа. Нямаад байгаа цахим зоос хэдэн төгрөг болох вэ?

Хариу: 17

4. Дөрвөн өөр өнгийн 4 хос бээлийнээс дөрвөн хүн баруун болон зүүн гарын бээлий нь ялгаатай өнгөтэй байхаар 2, 2 бээлий сонгох боломжийн тоог ол.

Хариу: 216

5. Нямаа 25 ижил хэмжээтэй квадрат хэлбэрийн нүднээс тогтох $5\times 5$ шоколадны төвд байрлах нүдийг дараах дүрмийн дагуу авч иднэ. Тэрээр хуваалт хийхдээ зөвхөн босоо эсвэл зөвхөн хэвтээ ховилын дагуу хугалах бөгөөд төвийн нүдийг агуулсан хэсгийг авч үлдэнэ. Нямаа төвийн нүдийг хэчнээн янзаар авч идэж чадах вэ?

Хариу: 6384

6. 2 нэгж талтай $ABCDEF$ зөв зургаан өнцөгт өгөв. $A$ дээр төвтэй $3$ радиустай тойрог татав. $BCDE$ дөрвөн өнцөгтийн, тойргийн гаднах мужийн талбай $a\sqrt{b}-\dfrac{c}{d}\pi$ бол $\dfrac{ab}{cd}$ харьцааг ол.

Хариу: 2

7. $ABCD$ трапецийн хувьд $AB=BC=CD$, $\angle B=120^\circ$ нөхцөлүүд биелдэг. Трапецийг багтаасан тойргийн $BC$ нум дээр ($A$ болон $D$ оройнуудыг агуулаагүй нум) $P$ цэгийг $2PB+PD=15\sqrt{3}$ байхаар авав. Тэгвэл $PA$ хэрчмийн уртыг ол.

Хариу: 15

8. $n$ натурал тооны хувьд $f(n)=\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\dots+\lfloor\log_2 n\rfloor$ байг. $f(n)$ тоо $n$-д хуваагдаж байх натурал $n<2021$-ийн хамгийн их утгыг ол. Энд $\lfloor x\rfloor$-ээр $x$ бодит тооноос хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоог тэмдэглэв.

Хариу: 1013