1. Доор өгөгдсөн дөрвөн дүрсийг нийлүүлэн үүсгэсэн шинэ дүрс нь ядаж 2 ялгаатай тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байв. Тэгвэл тэр дүрсийг ол.

2. $ABCD$ квадратын $AB$ тал дээр $K$ цэгийг, $BC$ тал дээр $L$ цэгийг, $CD$ тал дээр $M$ цэгийг, $DA$ тал дээр $N$ цэгийг $KLMN$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $ABCD$-ийн талбайн хагастай тэнцүү байхаар авав. Тэгвэл $KLMN$-ийн ямар нэгэн диагонал нь $ABCD$-ийн ямар нэгэн талтай параллел гэж батал.

3. Дараах зурагт үзүүлсэн $AB$, $BC$, $AC$ диаметртэй хагас тойргуудыг зүрх гэж нэрлэе. (Энд $AC$-ийн дундаж нь $B$ цэг байна.) $\omega$ зүрх өгөгджээ. Хэрэв $\omega$ дээр орших $P$, $P'$ цэгүүдээр түүний периметр хагаслан хуваагдаж байвал $(P,P')$-ийг бисектор гэж нэрлэе. $(P,P')$, $(Q,Q')$ нь бисекторууд байг. $\omega$-ийн $P$, $P’$, $Q$, $Q’$ цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунууд $XYZT$ гэсэн гүдгэр дөрвөн өнцөгт үүсгэнэ. Хэрэв $XYZT$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан бол $PP’$ болон $QQ’$ шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

4. $AB\parallel CD$ байх $ABCD$ адил хажуут трапецийн $CD$ суурь дээр $E$, $F$ цэгүүдийг $DE=CF$ ба $D$, $E$, $F$, $C$ гэсэн дарааллаар байрлаж байхаар авав. $E$ цэгийн $AD$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэгийг $X$, $C$ цэгийн $AF$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэгийг $Y$ гэе. Тэгвэл $ADF$ болон $BXY$ гурвалжныг багтаасан тойргуудын төвүүд давхцана гэж батал.

5. Хавтгайд аль ч гурав нь нэг шулуун дээр оршдоггүй $A_1$, $A_2$, $…$, $A_{2021}$ гэсэн 2021 цэг өгөгджээ. Хэрэв $\angle A_{i-1} A_i A_{i+1}$-ээр $A_{i-1}A_i$ болон $A_i A_{i+1}$ шулуунуудын хоорондох $180^{\circ}$-аас бага өнцгийг тэмдэглэсэн ба $A_{2022}=A_1$, $A_0=A_{2021}$ гэвэл
$$\angle A_1A_2A_3+\angle A_2A_3A_4+\dots +\angle A_{2021}A_1A_2=360^\circ,$$
байв. Тэгвэл эдгээр өнцгүүдээс нийлбэр нь $90^\circ$-тай тэнцүү хэсэг өнцгийг сонгон авч болно гэж батал.