1. $AB=AC$ байх $ABC$ гурвалжны ортотөв $H$ байв. $AC$ талын дундаж $E$ ба $BC$ тал дээр $3CD=BC$ байх $D$ цэг авав. Тэгвэл $BE\perp HD$ гэж батал.

2. $ABCD$ параллелограммын $AB$ тал дээр $E$ цэгийг, $CD$ тал дээр $F$ цэгийг $\angle EDC = \angle FBC$ ба $\angle ECD = \angle FAD$ байхаар авч болдог байв. Тэгвэл $AB \geq 2BC$ гэж батал.

3. $AB = BC$ ба $\angle ABD = \angle BCD = 90^{\circ}$ байх $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AC$, $BD$ диагоналууд $E$ цэгт огтлолцоно. $AD$ тал дээр $\displaystyle \frac{AF}{FD}$ = $\displaystyle \frac{CE}{EA}$ байх $F$ цэгийг авав. $DF$ диаметртэй $\omega$ тойрог болон $ABF$ гурвалжныг багтаасан тойргууд хоёр дахиа $K$ цэгт огтлолцоно. $\omega$ тойрог ба $EF$ шулуунууд хоёр дахиа $L$ цэгт огтлолцоно. Тэгвэл $KL$ шулуун $CE$ хэрчмийн дундаж цэгийг дайрна гэж батал.

4. Гурван тал нь бүгд ялгаатай урттай, хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$, $ABC$-г багтаасан тойргийг $\Gamma$ гэе. $AI$ шулуун $\Gamma$ тойрогтой хоёр дахиа $M$ цэгт огтлолцоно. $BC$ талын дундаж $N$ ба $\Gamma$ тойрог дээр $IN \perp MT$ байх $T$ цэг авав. $AI$ шулууны $I$ цэгт татсан перпендикуляр шулуун $TB$-тэй $P$ цэгт, $TC$-тэй $Q$ цэгт огтлолцоно. Тэгвэл $PB=CQ$ гэж батал.

5. $ABCDE$ гүдгэр таван өнцөгтийн $CD$ тал дээр $X$ цэг гүйж байв. $AX$ хэрчим дээр $AB=BK$ ба $AE=EL$ байх $K$, $L$ цэгүүдийг авав. $CXK$ болон $DXL$ гурвалжныг багтаасан тойргууд хоёр дахиа $Y$ цэгт огтлолцоно. $X$ цэг хувьсахад $XY$ шулуун тогтмол нэг цэгийг дайрна эсвэл эдгээр шулуунууд бүгд хоорондоо параллел байна гэж батал.