1. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $\omega$ гэе. $AC$ талын дундаж $D$, $A$ оройгоос $BC$ рүү буусан өндрийн суурь $E$, $AB$ болон $DE$ шулуунууд $F$ цэгт огтлолцдог. $\omega$ тойргийн $BC$ нум дээр ($A$ оройг агуулаагүй нум) $H$ цэгийг $\angle BHE=\angle ABC$ байхаар авав. Тэгвэл $\angle BHF = 90^{\circ}$ гэж батал.

2. $\Gamma_1$ ба $\Gamma_2$ гэсэн ялгаатай хоёр тойргууд $A$, $B$ цэгүүдэд огтлолцоно. $A$ цэгийг дайрсан шулуун $\Gamma_1$ тойрогтой хоёр дахиа $C$ цэгт, $\Gamma_2$ тойрогтой хоёр дахиа $D$ цэгт огтлолцсон ба $A$ цэг $C$, $D$ цэгүүдийн хооронд оршиж байв. $\Gamma_2$ тойргийн $A$ цэгт татсан шүргэгч $\Gamma_1$ тойрогтой хоёр дахиа $E$ цэгт огтлолцоно. $\Gamma_2$ тойрог дээрх $F$ цэг авахад $F$ ба $A$ нь $BD$ шулууны хоёр өөр талд оршиж байсан ба $2\angle AFC = \angle ABC$ байв. Тэгвэл $\Gamma_2$ тойргийн $F$ цэгт татсан шүргэгч шулуун болон $BD$, $CE$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно эсвэл параллел байна гэж батал.

3. $ABC$ гурвалжны өндрүүд $AD$, $BE$, $CF$ ба ортотөв нь $H$ байв. $H$ цэгээс $EF$ шулуун руу буулгасан перпендикуляр шулуун $EF$ шулуунтай $P$ цэгт, $AB$ шулуунтай $T$ цэгт, $AC$ шулуунтай $L$ цэгт тус тус огтлолцоно. $BC$ тал дээр $BD=KC$ байх $K$ цэг авав. $H$, $P$ цэгүүдийг дайрсан $AH$-ийг шүргэх тойргийг $\omega$ гэе. Тэгвэл $ATL$ гурвалжныг багтаасан тойрог, $\omega$ тойрогтой шүргэлцэх ба $KH$ шулуун уг шүргэлтийн цэгийг дайрна гэж батал.

4. Аль ч гурав нь нэг шулуун дээр оршдоггүй, аль ч дөрөв нь нэг тойрог дээр оршдоггүй гүдгэр 2021 өнцөгтийн орой болдог 2021 цэг өгөгдөв. Тэгвэл эдгээр цэгүүдээс сонгогдсон хоёр цэгийг дайрсан ямар ч тойрог үлдсэн цэгүүдээс дор хаяж 673 цэгийг дотор талдаа агуулдаг байхаар хоёр цэгийг сонгож болно гэж батал. (673 цэгүүдээс зарим нь тойрог дээр байж болно.)

5. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$, уг багтсан тойрог $BC$ талыг $D$ цэгт шүргэнэ. $BC$ тал дээр $\angle PAB = \angle BCA$ байх $P$ цэг, $\angle QAC = \angle ABC$ байх $Q$ цэг оршиж байв. $ABP$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $K$, $ACQ$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $L$ бол $AD$ шулууныг $IKL$ гурвалжны Эйлерийн шулуун болно гэж батал. (Гурвалжныг багтаасан тойргийн төв ба ортотөвийг дайрсан шулууныг уг гурвалжны Эйлерийн шулуун гэдэг.)