ММО-58, Дунд 1, Бүс дүүрэг, D (7-8) ангилал
1. Бүх юмны үнэ нь анхны тоогоор хэмжигддэг нэг улс байжээ. Энэ улсад 6 алим, 5 чавга, 5 үзэм, 3 лийр авахад 130 зоос төлнө. Харин 3 алим, 3 чавга, 5 үзэм, 6 лийр авахад мөн л 130 зоос төлдөг бол алим, чавга, үзэм, лийр тус бүр хэдэн зоосны үнэтэй вэ?
Бодолт 1.
Алим, чавга, үзэм, лийрний үнэ харгалзан $p,q,r,s$ гэсэн анхны тоонууд болог өгсөн нөхцөлөөс$$\begin{cases}
6p+5q+5r+3s=130\quad (I)\\
3p+3q+5r+6s=130\quad (II)
\end{cases}$$
системийн анхны тоон $(p,q,r,s)$ шийдийг олох ёстой:
$I-II:$ $3p+2q-3s=0\Leftrightarrow 2q=3(s-q)$ бол $2q$ нь $3$-д хуваагдана. Эндээс $q=3$ болох ба үүний $(I), (II)$-д орлуулбал
$$\begin{cases}
6p+5r+3s=115\quad (III)\\
3p+5r+6s=121\quad (IV)
\end{cases}$$
1. Хэрэв $r$ ба $s$ хоёулаа сондгой тоо бол $(III)$-аас $115$ тэгш тоо болоход хүрнэ. Иймд $r,s$-ийн аль нэг нь тэгш анхны тоо (ө.х 2) байх ёстой.
2. Хэрэв $p$ ба $r$ хоёулаа сондгой тоо байвал $(IV)$-өөс $121$ тэгш тоо болоход хүрнэ. Иймд $p,r$-ийн аль нэг нь тэгш анхны тоо байна.
3. Хэрэв $r\neq2$ байвал $p=s=2$ болж үүнийг $(III), (IV)$ системд орлуулбал шийдгүй!
Ийнхүү $r=2$ байхаас өөр аргагүй. $(III), (IV)$ системд $r=2$ гэж орлуулбал
$$\begin{cases}
6p+3s=105\quad (III)\\
3p+6s=111\quad (IV)
\end{cases}$$
болно. Энэ системийг бодож $p=11$, $s=13$ гэж шийд гарна.
Онооны схем:
1. 3 алим + 2 чавга = 3 лийр гэж гаргавал 1 оноо
2. Дээрээс үндэслэн чавга = 3 зоос гэж гаргавал 3 оноо
3. Гүйцээсэн бол 7 оноо
2. Зөвхөн 0, 1-ийн цифрээр бичигддэг бөгөөд 11111100111-ээс бага хэдэн натурал тоо байх вэ?
Бодолт 1.
Өгөгдсөн тоо 11 оронтой. Зөвхөн 0; 1-ээр бичигддэг бөгөөд 11-ээс ихгүй оронтой натурал тоо нийт $2^{11}-1=2047$ ширхэг бий.$\overline{111111abcde}$ гэсэн зургаан $1$-ээр эхэлсэн тоо нийт $2^5=32$ байгаа. Эдгээр дотроос өгөгдсөн $11111100111$ тооноос бага
$11111100000$, $11111100001$, $11111100010$, $11111100011$, $11111100100$, $11111100101$, $11111100110$ гэсэн 7 тоо байгаа. Иймд $11111100111$ тооноос бага $2047-32+7=2022$ тоо байна.
Онооын схем:
1. Уг тоог 2-тын тооллын систем гээд 10-тын оронд шилжүүлвэл 4 оноо
2. 10-тын орондоо эрэмбээ хадгална гэж хэлбэл 2 оноо.
3. Хариуг 2022 гэж хэлвэл 1 оноо.
Бодолт 2.
Энэ бодлогыг 2-тын тооллын систем ашиглан шууд бодож болно. Тухайлбал 2-тийн тооллын системд $111111100111$ гэж бичигддэг тооны $10$-тын бичлэгийг олъё.$11111100111\mapsto 2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^2+2^1+1=2023$ тул $2023$-аас бага натурал тоо $2022$ ширхэг бий.
3. $AB=2BC$ байх $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $P,Q$ цэгүүдийг $AP:PQ:QB=1:2:3$ байхаар авав. Мөн $AC$ тал дээр $R$ цэгийг $AR:RC=1:2$ байхаар авав. Тэгвэл $\angle PRQ=90^\circ$ гэж батал.
Бодолт 1.
$AB$ цацраг дээр $AB$ хэрчмийн гадна талд $BC=BD$ байх $D$ цэг авъя. Тэгвэл\[\dfrac{AR}{RC}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{AQ}{QD}\] учраас $RD\parallel CD$ болно. Мөн
\[\dfrac{AP}{PQ}=\dfrac{AR}{RC}=\dfrac{1}{3}\] учраас $PR\parallel CQ$ болно.
$BC=BD=QB$ гэдгээс $\angle QCD=90^\circ$ гэж гарна. Эндээс $\angle PQR=90^\circ$ болно.
4. Дараах нийлбэрийг ол.
$$\dfrac{1}{\left(\frac{1}{2022}\right)^2+1}+\dfrac{1}{\left(\frac{2}{2021}\right)^2+1}+\dfrac{1}{\left(\frac{3}{2020}\right)^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{\left(\frac{2021}{2}\right)^2+1}+\dfrac{1}{\left(\frac{2022}{1}\right)^2+1}$$
Бодолт 1.
Хариу: $1011$$$\dfrac{1}{\left(\frac{i}{j}\right)^2+1}+\dfrac{1}{\left(\frac{j}{i}\right)^2+1}=\dfrac{\left(\left(\frac{i}{j}\right)^2+1\right)+\left(\left(\frac{j}{i}\right)^2+1\right)}{\left(\left(\frac{i}{j}\right)^2+1\right)\left(\left(\frac{j}{i}\right)^2+1\right)}=1$$
Онооны схем:
Хоёр захаасаа нэмээд 1 гарна гэдгийг ерөнхий тохиолдолд харуулвал 3 оноо. Бодолтоо гүйцээсэн бол 7 оноо.