Бодлогууд

1. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос буусан өндрийг $D$ , $B$ оройгоос буусан өндрийг $E$ , $C$ оройгоос буусан өндрийг $F$ , ортотөвийг $H$ гэе. $AH$ хэрчмийн дундаж цэгийг $L$ , $EF$ хэрчмийн дундаж цэгийг $M$ , $BC$ хэрчмийн дундаж цэгийг $N$ гэе. $L$ цэгээс $FD$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $P$ , $N$ цэгээс $FD$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $Q$ гэвэл $PM\perp MQ$ болохыг батал.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:

Бүтэн бодолт 7 оноо.

$L$ , $M$ , $N$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж харуулвал 1 оноо.

2. Дараах нөхцөлүүдийг хангадаг $f: \mathbb R\to \mathbb R$ функц оршин байдаг бүх $a$ бодит тоонуудыг ол.

$x\in \mathbb R$ бүрийн хувьд $f(f(x))=f(x)+x$ ,

$x\in \mathbb R$ бүрийн хувьд $f(f(x)-x)=f(x)+ax$ ,

Бодолт 1.

a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

$a = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ үед

f (x) = - x / a

$f(x) = -x/a$ функц нөхцөл хангахыг шалгах хэцүү биш. Өөр шийдгүй гэж харуулъя.

f (x) = f (f (f (x)) - f (x)) = f (f (x)) + a f (x) = f (x) + x + a f (x)

$\begin{equation} f(x) = f(f(f(x)) - f(x)) = f(f(x)) + af(x) = f(x) + x + af(x) \end{equation}$
гэдгээс

a \neq 0

$a \ne 0$ ба

f (x) = - x / a

$f(x) = -x/a$ байна. Нөхцөлөөс

a^{2} - a - 1 = 0

$a^{2} - a - 1 = 0$ болно.

Дүгнэх аргачлал:

Бүтэн бодолт $7$ оноо, жижиг алдаа $-1$ оноо, дунд хэмжээний алдаа $-2$ оноо. Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

Шийдүүдийг олж, шийд болохыг шалгасан бол $2$ оноо. Шийд болохыг шалгаагүй бол $1$ оноо.

Өөр шийдгүй гэж харуулахад 5 $5$ оноо. Үүнд
1. $f(x) = f(f(x)) + af(x)$ гэж харуулахад $2$ оноо.
2. $a \ne 0$ ба $f(x) = -x/a$ гэж харуулахад $2$ оноо.
3. $a^{2} - a - 1 = 0$ гэж харуулахад $1$ оноо.

3. Чимгээ самбарт бичигдсэн $x$ , $y$ ялгаатай тоонуудыг сонгоод тэдгээрийг ашиглан
$\text{ХИЕХ}(x,y)+\text{ХБЕХ}(x,y)$
тоог гарган авч самбарт нэмж бичиж чадна. Анх самбарт $a$ , $b$ гэсэн ялгаатай натурал тоонууд бичигдсэн байжээ. Ямар ч $n$ натурал тоо өгөхөд, Чимгээ $n$ -д хуваагддаг тоо гарган авах боломжтойг харуул.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:

Бүтэн бодолт 7 оноо:

$x\mid y$ байх хоёр тоо самбарт бичигдсэн тохиолдолд $n$ -д хуваагдах тоо гаргаж чадна гэдгийг баталбал 1 оноо.

4. Ямар нэг дараалсан 1000 ширхэг натурал тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олоод хооронд нь нэмэхэд $N$ тоо гардаг бол $N$ тоог гоё тоо гэе. Бүх гоё тоог ол.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:

Бүтэн бодолт 7 оноо:

Доод үнэлгээг гаргах 3 оноо:

1) 1-1000 тоонуудын цифрүүдийн нийлбэрийг олсон тохиолдолд 2 оноо

2) Сайн тоо дээрх нийлбэрээс бага байж болохгүй гэдгийг баталсан тохиолдолд +1 оноо.

13501-ээс эхлэн бүгд сайн гэдгийг батлах 4 оноо:

1) Шууд байгуулалт хийсэн тохиолдолд 4 оноо.

2) Нийлбэр 1-ээр ихсэх юмуу багасна гэдгийг ашигласан баталгаа:

а) Нийлбэр 1-ээр ихсэх юмуу багасна гэдгийг + 1 оноо

б) Нийлбэр дээшээгээ зааглагдахгүй гэдгийг харуулбал + 1 оноо

в) 13501-ээс их бүх тоо сайн гэж баталсан бол + 2 оноо. Хэрвээ а) эсвэл б)-ийн аль нэгийг батлаагүй бол +1 оноо.

Жижиг алдаанууд нийтдээ $-1$ оноо.

5. $AB < AC$ байх $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ байв. $CA$ шулуун дээр $D$ цэгийг $CD=AB$ байхаар, $BA$ шулуун дээр $E$ цэгийг $BE=AC$ байхаар, мөн $A$ , $D$ , $E$ цэгүүд $BC$ шулууны нэг талд оршиж байхаар авав. $BCI$ гурвалжны ортотөв $H$ бол $D$ , $E$ , $H$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:

Бүтэн бодолт 7 оноо.

Дунд зэргийн алдаа $-2$ оноо.

6. Энэ бодлогын өгүүлбэрийг материалаас харна уу!

EGMO-2023 сонгон шалгаруулалт №2, F (11-12) ангилал