1. $a, b$ нь нийлбэр нь 20 байх натурал тоонууд байг. $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ нийлбэрийн хамгийн их утга $\dfrac{p}{q}$ үл хураагдах бутархай бол $p+q$-ийн утгыг ол.

Хариу: 39

2. $a$, $b$ эерэг бодит тоонууд байг. Хэрэв $\dfrac{1}{2}(58-x^2)$ функцийн $[a, b]$ завсар дахь хамгийн бага утга $4a$, хамгийн их утга нь $4b$ бол $a+b$-ийг ол.

Хариу: 8

3. Аль ч гурван цэг нь нэг шулуун дээр үл орших $2021$ цэг хавтгайд өгчээ. Тэдгээрийг хэсэг бүр дор хаяж 3 цэгтэй байхаар 61 хэсэгт хуваав. Нэг хэсэгт орших 3 цэг бүрийг хэрчмээр холбож гурвалжин үүсгэх бол хамгийн цөөндөө хэчнээн гурвалжин үүсгэх вэ?

Хариу: 337040

4. Аливаа $n\geqslant 1$ бүрийн хувьд $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$ нөхцөлийг хангадаг $f_1, f_2, f_3,\ldots$ натурал тоон дарааллын хувьд $f_m=2021$ ба $m$ хамгийн их утгатай байв. $f_{m-1}$ хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

Хариу: 1249

5. Аль нь ч тэгтэй тэнцдэггүй $a,b,c$ бүхэл тоонууд
$$3abc=a+b+c+6$$
нөхцөлийг хангадаг. Ийм бүх эрэмбэлэгдсэн $(a, b, c)$ гуравтын тоог ол.

Хариу: 6

6. $O_1$ цэгт төвтэй $\omega_1$, $O_2$ цэгт төвтэй $\omega_2$ тойргууд гадаад байдлаар шүргэлцэнэ. $\omega_1$ ба $\omega_2$ тойргуудын гадаад ерөнхий шүргэгч нь харгалзан $T_1$ ба $T_2$ цэгт шүргэнэ. $O_1O_2T_2T_1$ дөрвөн өнцөгтийн талбай 1088 см$^2$ ба $\omega_1$ тойргийн радиус 64 см бол $\omega_2$ тойргийн радиусыг ол.

Хариу: 4

7. $ABCD$ тэгш өнцөгтийн $AD$ талын дундаж $M$, $BC$ талын дундаж $N$ байв. $CD$ цацраг дээр $P$ цэгийг авсан ба $PM$ шулуун $AC$ диагоналтай $Q$ цэгт, $PN$ шулуун $AC$ диагоналтай $R$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $PQ=QC$, $PR=18$, $RN=6$ байсан бол $QN$ хэрчмийн уртыг ол.

Хариу: 12

8. $9^{2020}+9^{2020^2}+9^{2020^3}+\dots+9^{2020^{2021}}$ нийлбэрийг 100-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

Хариу: 21