Бодлогууд

1. Хавтгайд аль ч гурав нь ерөнхий цэггүй $2n$ ширхэг шулуун өгчээ. Хэрвээ шулуун бүр өөр яг нэг шулуунтай параллел бол эдгээр шулуунууд хавтгайг хэдэн хэсэгт хуваах вэ?

2. Тэгээс ялгаатай, харилцан анхны $a$ ба $b$ бүхэл тоонууд өгөгдөв. Хэрэв $a> b+2$ бол ямар ч эерэг бүхэл $n$ ба $m$ тоонуудын хувьд
$\frac{a^n + b^n}{a^m - b^m}$
илэрхийлэл бүхэл тоо гарахгүй гэдгийг харуул.

3. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AC$ , $BD$ диагоналууд $S$ цэгт огтлолцоно. $\angle ASD$ -ийн биссектрис шулуун $BC$ -тэй $E$ цэгт, $AD$ -тэй $F$ цэгт огтлолцоно. $\angle BME=\angle EMC$ ба $\angle AMF=\angle FMD$ байх $M$ цэгийг авав. Тэгвэл $\angle MBC=\angle MAD$
гэж батал.

Бодолт 1.

Онооны схем.

Бодлогод

A B \neq C D

$AB\neq CD$ нөхцөл дутуу өгсөнөөс эсрэг жишээ байгуулагдсан тул дараах байдлаар оноо олгов.

1. Эсрэг жишээ байгуулсан буюу

A B = C D

$AB=CD$ үед

∡ M B C = ∡ M A D

$\measuredangle MBC=\measuredangle MAD$ байх албагүй гэж харуулсан бол 7 оноо.

2.

A B \neq C D

$AB\neq CD$ үед

а)

M

$M$ цэг

A B C D

$ABCD$ -ийн дотор орших үед

S \equiv M

$S\equiv M$ гэж гарна. Энэ тохиолдолд 2 оноо.

б)

M

$M$ цэг

A B C D

$ABCD$ -ийн гадна орших үед

\frac{A F}{F D} = \frac{B E}{E C} = \frac{A M}{M D} = \frac{B M}{M C}

$\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BM}{MC}$

\frac{B E}{E C} = \frac{B S}{S C} = \frac{A S}{S D} = \frac{A B}{C D}

$\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{AS}{SD}=\dfrac{AB}{CD}$
Эндээс

△ A B M \sim △ D C M \Rightarrow ∠ A M D = ∠ B M C

$\triangle ABM\sim \triangle DCM\Rightarrow \angle AMD=\angle BMC$
болох ба энэ нөхцөл болон дээрх харьцаанаас

△ B M C \sim △ A M D

$\triangle BMC\sim\triangle AMD$ болж

∡ M B C = ∡ M A D

$\measuredangle MBC=\measuredangle MAD$ гарна.

4. $f(x)=x^3-3x^2+1$ олон гишүүнтийн гурван язгуурыг $a,b,c$ гэе.
$ab^2+bc^2+ca^2$
илэрхийллийн утгыг ол.

5. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос буусан өндрийн суурь $A_1$ , $B$ оройгоос буусан өндрийн суурь $B_1$ , $C$ оройгоос буусан өндрийн суурь $C_1$ , ортоцентр $H$ , $BC$ талын дундаж $M$ байв. Мөн $AH$ хэрчмийн дундаж $E$ , $B_1C_1$ болон $AH$ -ын огтлолцлын цэг $F$ байв. Хэрэв $BHC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AM$ хэрчимтэй $N$ цэгт огтлолцох бол $\angle HMA=\angle FNE$ гэж батал.

6. $a_1,a_2,a_3,\dots$ төгсгөлгүй натурал тоон дараалал дараах чанарыг хангана: Үүнд аливаа $n$ дугаарын хувьд дарааллын $a_1,\ldots,a_n$ гишүүдийг $n$ -д хуваахад гарах үлдэгдлүүд бүгд ялгаатай байв. $a_1=2021$ байх бүх боломжит $(a_1,\dots,a_{2022})$ -ийн тоог ол.

Бодолт 1.

$a_1=2021$ байх бүх боломжит

$(a_1,\dots,a_{n})$ -ийн тоог

$c_n$ гэе.

Эхлээд аливаа

$n$ тооны хувьд бодлогын нөхцөлийг хангах дарааллын эхний

$n$ гишүүн нь

$2021$ -ийг агуулсан дараалсан тоонууд гэдгийг харуулъя.

$a_1,\ldots,a_n$ гишүүд

$n$ модул ялгаатай тул эдгээр тоонууд ялгаатай.

$1\le k<\ell\le n$ байх ямар нэг

$k,\ell$ дугааруудын хувьд

$|a_k-a_\ell|=m\ge n$ бол

$m$ модулаар

$a_k\equiv a_{\ell}\pmod{m}$ тул

$m$ дугаарын хувьд бодлогын нөхцөл биелэхгүй. Эндээс аливаа

$1\le k<\ell\le n$ байх ямар нэг

$k$ ,

$\ell$ дугааруудын хувьд

$|a_k-a_\ell| < n$ болно. Эндээс

$\{a_1,\dots,a_n\}$ олонлог нь дараалсан

$n$ ширхэг натурал тоонуудын олонлог байна.

Хэрвээ

$\{a_1,\dots,a_{n-1}\}=\{t+1,t+2,\dots,t+n-1\}$ бол

$a_n=t$ эсвэл

$a_n=t+n$ байх боломжтой. Эндээс

$n<2022$ үед

$c_n=2^{n-1}$ байна. Харин

$n=2022$ үед

$2021,2020,\dots,0$ дараалал

$0$ -ийг агуулах тул бодлогын нөхцөлийг хангахгүй. Иймд

$c_{2022}=2^{2021}-1$ байна.

7. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гэе. $A$ өнцгийн биссектрис уг гурвалжныг багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцоно ( $A\neq D$ ). Тэгвэл $I$ цэгээс $D$ дээр төвтэй $BC$ талыг шүргэх тойрогт татсан шүргэгчийн урт $BC/2$ гэж батал.

8. $a$ , $b$ , $c$ нь өгөгдсөн $p$ анхны тооноос бага ялгаатай, эерэг бүхэл тоонууд байг.
$a^3$ , $b^3$ , $c^3$ тоонуудыг $p$ -д хуваахад гарах үлдэгдлүүд ижил байсан бол $a+b+c$ нийлбэр $p$ -д хуваагдахыг харуул.

9. $x, y, z$ эерэг тоонуудын хувьд $x+y+z=5$ ба $xyz=1$ байдаг бол $xy+yz+zx\geq \dfrac{17}{4}$
гэж батал.

10. Гэр бүлийн 3 хос нийт 6 хүн өөрсдийн нэрийг бичсэн 6 хуудас цааснаас сугалав. Хүн бүр нэг нэр сугалсан ба тэдгээрээс хэн нь ч өөрийн нэр эсвэл хосынхоо нэрийг сугалаагүй байв. Ийм боломж нийт хэчнээн байгаа вэ? (Эдгээр хүмүүс дотор ижил нэртэй хүн байхгүй.)

11. $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $E$ цэгийг, $AC$ тал дээр $F$ цэгийг $2EB=FC$ байхаар авав. $ABF$ болон $AEC$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд дахин $M$ цэгт огтлолцоно $(A\neq M)$ . Хэрэв $AM$ болон $BC$ шулуунууд $L$ цэгт огтлолцдог бол $2BL/LC=AB/AC$ гэж батал.

12. $A\subseteq\{1,2,\ldots,2022\}$ олонлогийн аль ч хоёр элементийн нийлбэр $7$ ба $9$ -ийн алинд ч хуваагддаггүй байв. $A$ олонлог хамгийн олондоо хэдэн элементтэй байх вэ?

EGMO сонгон шалгаруулалт №1, F (11-12) ангилал