EGMO сонгон шалгаруулалт №1, F (11-12) ангилал
1. Хавтгайд аль ч гурав нь ерөнхий цэггүй $2n$ ширхэг шулуун өгчээ. Хэрвээ шулуун бүр өөр яг нэг шулуунтай параллел бол эдгээр шулуунууд хавтгайг хэдэн хэсэгт хуваах вэ?
2. Тэгээс ялгаатай, харилцан анхны $a$ ба $b$ бүхэл тоонууд өгөгдөв. Хэрэв $a> b+2$ бол ямар ч эерэг бүхэл $n$ ба $m$ тоонуудын хувьд
\[
\frac{a^n + b^n}{a^m - b^m}
\]
илэрхийлэл бүхэл тоо гарахгүй гэдгийг харуул.
3. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AC$, $BD$ диагоналууд $S$ цэгт огтлолцоно. $\angle ASD$-ийн биссектрис шулуун $BC$-тэй $E$ цэгт, $AD$-тэй $F$ цэгт огтлолцоно. $\angle BME=\angle EMC$ ба $\angle AMF=\angle FMD$ байх $M$ цэгийг авав. Тэгвэл $\angle MBC=\angle MAD$
гэж батал.
Бодолт 1.
Онооны схем.Бодлогод $AB\neq CD$ нөхцөл дутуу өгсөнөөс эсрэг жишээ байгуулагдсан тул дараах байдлаар оноо олгов.
1. Эсрэг жишээ байгуулсан буюу $AB=CD$ үед $\measuredangle MBC=\measuredangle MAD$ байх албагүй гэж харуулсан бол 7 оноо.
2. $AB\neq CD$ үед
а) $M$ цэг $ABCD$-ийн дотор орших үед $S\equiv M$ гэж гарна. Энэ тохиолдолд 2 оноо.
б) $M$ цэг $ABCD$-ийн гадна орших үед
$$\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BM}{MC}$$
$$\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{AS}{SD}=\dfrac{AB}{CD}$$
Эндээс
$$\triangle ABM\sim \triangle DCM\Rightarrow \angle AMD=\angle BMC$$
болох ба энэ нөхцөл болон дээрх харьцаанаас
$\triangle BMC\sim\triangle AMD$ болж $\measuredangle MBC=\measuredangle MAD$ гарна.
4. $f(x)=x^3-3x^2+1$ олон гишүүнтийн гурван язгуурыг $a,b,c$ гэе.
$$ab^2+bc^2+ca^2$$
илэрхийллийн утгыг ол.
5. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос буусан өндрийн суурь $A_1$, $B$ оройгоос буусан өндрийн суурь $B_1$, $C$ оройгоос буусан өндрийн суурь $C_1$, ортоцентр $H$, $BC$ талын дундаж $M$ байв. Мөн $AH$ хэрчмийн дундаж $E$, $B_1C_1$ болон $AH$-ын огтлолцлын цэг $F$ байв. Хэрэв $BHC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AM$ хэрчимтэй $N$ цэгт огтлолцох бол $\angle HMA=\angle FNE$ гэж батал.
6. $a_1,a_2,a_3,\dots$ төгсгөлгүй натурал тоон дараалал дараах чанарыг хангана: Үүнд аливаа $n$ дугаарын хувьд дарааллын $a_1,\ldots,a_n$ гишүүдийг $n$-д хуваахад гарах үлдэгдлүүд бүгд ялгаатай байв. $a_1=2021$ байх бүх боломжит $(a_1,\dots,a_{2022})$-ийн тоог ол.
Бодолт 1.
$a_1=2021$ байх бүх боломжит $(a_1,\dots,a_{n})$-ийн тоог $c_n$ гэе.Эхлээд аливаа $n$ тооны хувьд бодлогын нөхцөлийг хангах дарааллын эхний $n$ гишүүн нь $2021$-ийг агуулсан дараалсан тоонууд гэдгийг харуулъя.
$a_1,\ldots,a_n$ гишүүд $n$ модул ялгаатай тул эдгээр тоонууд ялгаатай. $1\le k<\ell\le n$ байх ямар нэг $k,\ell$ дугааруудын хувьд $|a_k-a_\ell|=m\ge n$ бол $m$ модулаар $a_k\equiv a_{\ell}\pmod{m}$ тул $m$ дугаарын хувьд бодлогын нөхцөл биелэхгүй. Эндээс аливаа $1\le k<\ell\le n$ байх ямар нэг $k$, $\ell$ дугааруудын хувьд $|a_k-a_\ell| < n$ болно. Эндээс $\{a_1,\dots,a_n\}$ олонлог нь дараалсан $n$ ширхэг натурал тоонуудын олонлог байна.
Хэрвээ $\{a_1,\dots,a_{n-1}\}=\{t+1,t+2,\dots,t+n-1\}$ бол $a_n=t$ эсвэл $a_n=t+n$ байх боломжтой. Эндээс $n<2022$ үед $c_n=2^{n-1}$ байна. Харин $n=2022$ үед $2021,2020,\dots,0$ дараалал $0$-ийг агуулах тул бодлогын нөхцөлийг хангахгүй. Иймд $c_{2022}=2^{2021}-1$ байна.
7. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гэе. $A$ өнцгийн биссектрис уг гурвалжныг багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцоно ($A\neq D$). Тэгвэл $I$ цэгээс $D$ дээр төвтэй $BC$ талыг шүргэх тойрогт татсан шүргэгчийн урт $BC/2$ гэж батал.
8. $a$, $b$, $c$ нь өгөгдсөн $p$ анхны тооноос бага ялгаатай, эерэг бүхэл тоонууд байг.
$a^3$, $b^3$, $c^3$ тоонуудыг $p$-д хуваахад гарах үлдэгдлүүд ижил байсан бол $a+b+c$ нийлбэр $p$-д хуваагдахыг харуул.
9. $x, y, z$ эерэг тоонуудын хувьд $x+y+z=5$ ба $xyz=1$ байдаг бол $xy+yz+zx\geq \dfrac{17}{4}$
гэж батал.
10. Гэр бүлийн 3 хос нийт 6 хүн өөрсдийн нэрийг бичсэн 6 хуудас цааснаас сугалав. Хүн бүр нэг нэр сугалсан ба тэдгээрээс хэн нь ч өөрийн нэр эсвэл хосынхоо нэрийг сугалаагүй байв. Ийм боломж нийт хэчнээн байгаа вэ? (Эдгээр хүмүүс дотор ижил нэртэй хүн байхгүй.)
11. $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $E$ цэгийг, $AC$ тал дээр $F$ цэгийг $2EB=FC$ байхаар авав. $ABF$ болон $AEC$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд дахин $M$ цэгт огтлолцоно $(A\neq M)$. Хэрэв $AM$ болон $BC$ шулуунууд $L$ цэгт огтлолцдог бол $2BL/LC=AB/AC$ гэж батал.
12. $A\subseteq\{1,2,\ldots,2022\}$ олонлогийн аль ч хоёр элементийн нийлбэр $7$ ба $9$-ийн алинд ч хуваагддаггүй байв. $A$ олонлог хамгийн олондоо хэдэн элементтэй байх вэ?