1. Хос хосоороо ялгаатай $X$, $Y$, $Z$ цэгүүд $\omega$ тойрог дээр цагийн зүүний дагуу энэ дарааллаараа байрлана. $\omega$ тойрогт цагийн зүүний дагуу хоорондоо тэнцүү урттай $XA$, $YB$, $ZC$ гурван шүргэгч татав . $XY$ шулуун $AB$ хэрчмийг $M$ цэгт, $YZ$ шулуун $BC$ хэрчмийг $N$ цэгт огтолдог бол $MN$ хэрчим $ABC$ гурвалжны дундаж шугам болно гэж батал.

2. $n \ge 2$ гэе. Уран зургийн галерейн үзэсгэлэнгийн танхимд $2n$ хүн тойрог болон зогссон ба бүгд нэг нэг зураг барьсан байв. Хүн болгоны толгойд тэнд байгаа $2n$ зургийг аль дуртай гаасаа дургүй рүүгээ эрэмбэлэн жагсаасан жагсаалт бий. Зэрэгцэн зогссон хоёр хүн хоёулаа өөрийнхөө барьж байгаа зургаас илүү нөгөөгийнхөө барьсан зурагт дуртай байвал зургуудаа солилцоно. Хамгийн олондоо хэдэн удаа солилцоо хийж болох вэ?

3. Бүхэл коэффициенттой, гурван зэргийн олон гишүүнтийг гурван бодит язгууртай ба язгуурууд нь бүгд $0$-ээс их $1$-ээс бага иррационал тоо байдаг бол сайн гэе.

а) Ахлах гишүүнийх нь коэффициент $10$-тай тэнцүү байдаг сайн олон гишүүнт олдох уу?

б) Ахлах гишүүнийх нь коэффициент $13$-тай тэнцүү байдаг сайн олон гишүүнт олдох уу?

4. $a$, $b$ бүхэл тоонууд ба $|a|\ge 2$ гэе. $a^1 + b, a^2 + b, \dots, a^n+b, \dots$ дараалал бүгд зохиомол тоо байх дараалсан $2022$ гишүүнтэй болохыг харуул.

5. Адил хажуут биш $ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $A_{1}$ цэгийг, $CA$ тал дээр $B_{1}$ цэгийг, $AB$ тал дээр $C_1$ цэгийг $\angle B_1 A C_1 = \angle B_1 A_1 C_1$, $\angle C_1 B A_1 = \angle C_1 B_1 A_1$ болон $\angle A_1 C B_1 = \angle A_1 C_1 B_1$ байхаар авав. $A_1B_1C_1$ гурвалжныг багтаасан тойрог $BC$ талыг $A_{2}$ цэгт, $CA$ талыг $B_{2}$ цэгт, $AB$ талыг $C_2$ цэгт дахин огтолдог байв.

$A A_2$, $B B_2$, $C C_2$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцох гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $\angle B C_1 A_1 = \angle A_1 B_1 C $ гэж батал.

6. $30$ сурагчтай ангийн сурагчид $10$, $10$, $10$-аараа гурван эгнээ болон сууна. Сар болгоны эхний өдөр багш сурагчдын байрыг сэлгэж суулгадаг. Хамгийн багадаа хэдэн сарын дотор аль ч хоёр сурагч ядаж нэг сар нэг эгнээнд суусан байхаар сэлгэн суулгаж чадах вэ?
$30$ сурагчтай ангийн сурагчид $10$, $10$, $10$-аараа гурван эгнээ болон сууна. Сар болгоны эхний өдөр багш сурагчдын байрыг сэлгэж суулгадаг. Хамгийн багадаа хэдэн сарын дотор аль ч хоёр сурагч ядаж нэг сар нэг эгнээнд суусан байхаар сэлгэн суулгаж чадах вэ?