ММО-58, Улс, Ахлах ангилал, F (11-12) ангилал
1. Хос хосоороо ялгаатай X, Y, Z цэгүүд ω тойрог дээр цагийн зүүний дагуу энэ дарааллаараа байрлана. ω тойрогт цагийн зүүний дагуу хоорондоо тэнцүү урттай XA, YB, ZC гурван шүргэгч татав . XY шулуун AB хэрчмийг M цэгт, YZ шулуун BC хэрчмийг N цэгт огтолдог бол MN хэрчим ABC гурвалжны дундаж шугам болно гэж батал.
2. n≥2 гэе. Уран зургийн галерейн үзэсгэлэнгийн танхимд 2n хүн тойрог болон зогссон ба бүгд нэг нэг зураг барьсан байв. Хүн болгоны толгойд тэнд байгаа 2n зургийг аль дуртай гаасаа дургүй рүүгээ эрэмбэлэн жагсаасан жагсаалт бий. Зэрэгцэн зогссон хоёр хүн хоёулаа өөрийнхөө барьж байгаа зургаас илүү нөгөөгийнхөө барьсан зурагт дуртай байвал зургуудаа солилцоно. Хамгийн олондоо хэдэн удаа солилцоо хийж болох вэ?
3. Бүхэл коэффициенттой, гурван зэргийн олон гишүүнтийг гурван бодит язгууртай ба язгуурууд нь бүгд 0-ээс их 1-ээс бага иррационал тоо байдаг бол сайн гэе.
а) Ахлах гишүүнийх нь коэффициент 10-тай тэнцүү байдаг сайн олон гишүүнт олдох уу?
б) Ахлах гишүүнийх нь коэффициент 13-тай тэнцүү байдаг сайн олон гишүүнт олдох уу?
4. a, b бүхэл тоонууд ба |a|≥2 гэе. a1+b,a2+b,…,an+b,… дараалал бүгд зохиомол тоо байх дараалсан 2022 гишүүнтэй болохыг харуул.
5. Адил хажуут биш ABC гурвалжны BC тал дээр A1 цэгийг, CA тал дээр B1 цэгийг, AB тал дээр C1 цэгийг ∠B1AC1=∠B1A1C1, ∠C1BA1=∠C1B1A1 болон ∠A1CB1=∠A1C1B1 байхаар авав. A1B1C1 гурвалжныг багтаасан тойрог BC талыг A2 цэгт, CA талыг B2 цэгт, AB талыг C2 цэгт дахин огтолдог байв.
AA2, BB2, CC2 шулуунууд нэг цэгт огтлолцох гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ∠BC1A1=∠A1B1C гэж батал.
6. 30 сурагчтай ангийн сурагчид 10, 10, 10-аараа гурван эгнээ болон сууна. Сар болгоны эхний өдөр багш сурагчдын байрыг сэлгэж суулгадаг. Хамгийн багадаа хэдэн сарын дотор аль ч хоёр сурагч ядаж нэг сар нэг эгнээнд суусан байхаар сэлгэн суулгаж чадах вэ?
30 сурагчтай ангийн сурагчид 10, 10, 10-аараа гурван эгнээ болон сууна. Сар болгоны эхний өдөр багш сурагчдын байрыг сэлгэж суулгадаг. Хамгийн багадаа хэдэн сарын дотор аль ч хоёр сурагч ядаж нэг сар нэг эгнээнд суусан байхаар сэлгэн суулгаж чадах вэ?