IMO-63, сорилго 1, II өдөр, F (11-12) ангилал
4. Бодлого 4
Дүгнэх аргачлал:
I. $RB\cap AD=S$ гэе.
1. $QRSA$ тойрогт багтана гэж харуулбал 1 оноо.
2. $OCRS$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо.
3. $AQ$, $DC$, $RS$ шулуунууд нь $(ADCQ)$, $(QRSA)$, $(DCRS)$ тойргуудын радикал тэнхлэг гэж баталбал 3 оноо.
Бүтэн бодолт 7 оноо.
II. $AQ\cap DC=T$ гэе.
1. $QRTC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 1 оноо.
2. $ABRC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо.
3. $B$, $R$, $T$ цэгүүд 1 шулуун дээр оршино гэж харуулбал 3 оноо.
4. Мөн $AQ\cap DC=T$ ба $BR\cap AQ=T'$ гээд $T\equiv T'$ гэж баталбал 3 оноо.
Бүтэн бодолт 7 оноо.
III. $\omega(APRQ)\cap BR=E$ гэе.
1. $ABRC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо.
2. $E, A, D$ цэгүүд 1 шулуун дээр оршино гэж харуулбал 2 оноо.
3. $\omega(ERCD)$, $\omega(ERQA)$, $\omega(QACD)$ тойргуудын радикал тэнхлэгүүд $ER$, $AQ$, $CD$ гэж харуулбал 3 оноо.
Бүтэн бодолт 7 оноо.
5. Бодлого 5
Дүгнэх аргачлал:
1. $d_1=1$ гэж харуулбал 1 оноо.
2. $d_2=3$ гэж харуулбал 1 оноо.
3. $d_3=5$ гэж харуулбал 1 оноо.
5. $d_i=2i-1$, $i=1,2,\dots,k$ гэсэн үед зөв баталсан бол харуулбал 3 оноо.
Бүтэн бодолт 7 оноо.
6. Бодлого 6
Дүгнэх аргачлал:
$1 \le k \le n$ хувьд $s_{k} = a_{1} + \dots + a_{k}$ гэе.
Жижиг үр дүн гаргасан: Энэ хэсгээс хамгийн ихдээ 2 оноо авах боломжтой. Доорх оноонуудыг нэмэхгүй.
A1. $a_{1} = \dots = a_{n} = \dfrac{1}{n}$ үед нийлбэрийг зөв тооцоолж, тэнцэтгэл бишийг батлахад $1$ оноо.
A2. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}a_{k}s_{k-1} \le \dfrac{n-1}{2n}$ гэж батлахад $1$ оноо.
A3. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}a_{k}s_{k-1}^{2} < \dfrac{1}{3}$ гэж батлахад $2$ оноо.
Том үр дүн гаргасан: Бүтэн бодолт $7$ оноо. Доорх оноонуудыг нэмэхгүй.
B1. $\dfrac{a_{k}}{1-a_{k}} s_{k-1}^{2} \le \dfrac{s_{k}^{3} - s_{k-1}^{3}}{3}$ гэж батлахад $5$ оноо.
B2. Ямар ч $1 \le k \le n$ хувьд $a_{k} \to \dfrac{a_{k}}{2}, \dfrac{a_{k}}{2}$ гэж задлахад нийлбэр өснө гэж батлахад $5$ оноо.