EGMO-2023 сонгон шалгаруулалт №1, F (11-12) ангилал
1. Хэрэв \[\begin{cases} a_1+a_2=1\\a_2+a_3=2\\ \vdots \\ a_{98}+a_{99}=98\\ a_{99}+a_1=99 \end{cases}\] бол $S=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots-a_{98}+a_{99}$ илэрхийллийн утгыг ол.
2. $x^{12}+mx$, $x^3+2x^2$, $x^2+x$ бүхэл тоонууд байдаг, $x$ иррационал, $m$ бүхэл тоонууд бол $m$-ыг ол.
Бодолт 1.
Хариу: $m = 144$.Бодолт:
$x^{3} + 2x^{2} = a$, $x^{2}+x = b$ гэвэл $a - b = (x^{2}+x - 1)x = (b-1)x$ байна. $a$, $b$ бүхэл ба $x$ иррационал гэдгээс $b = 1$ байна.
$F_{0} = 0$, $F_{1} = 1$ ба $n \ge 0$ үед $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$ гэвэл $F_{11} = 89$, $F_{12} = 144$ байна. Одоо индукцээр дурын $n \ge 1$ хувьд $(-x)^{n} = F_{n-1} - F_{n}x$ гэж харуулъя. $n = 1$ үед илт үнэн ба $n \ge 1$ үед үнэн бол $(-x)^{n+1} = -x(F_{n-1} - F_{n}x) = F_{n}(1-x) - F_{n-1}x = F_{n} - F_{n+1}x$ үнэн.
Эндээс $x^{12} + 144x = 89$ бүхэл. Мөн $x$ иррационал гэдгээс $m \ne 144$ үед $x^{12} + mx = 89 + (m-144)x$ бүхэл биш тул $m$ өөр утга авах боломжгүй.
Дүгнэх аргачлал:
- $x^{3} + 2x^{2}$, $x^{2} + x$ бүхэл бол $x^{12} + 144x$ бүхэл гэж харуулахад $6$ оноо. Үүнд
- $x^{6} + 8x$ бүхэл гэж харуулахад $1$ оноо.
- $x^{3} + 2x^{2}$, $x^{2} + x$ бүхэл бол $x^{2} + x = 1$ гэж харуулахад $2$ оноо.
- $x^{12} + mx$, $x^{3} + 2x^{2}$, $x^{2} + x$ бүхэл бол $m = 144$ гэж харуулахад $1$ оноо.
- $x^{3} + 2x^{2}$, $x^{2} + x$ бүхэл байх иррационал $x$ олдоно гэж харуулахад $1$ оноо.
- Жижиг алдаа $-1$ оноо.
- Дунд зэргийн алдаа $-2$ оноо.
3. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $A$, $B$, $C$ цэгүүд дээр татсан шүргэгчид $PQR$ гурвалжин үүсгэнэ. $A$ цэг $QR$ тал дээр, $B$ цэг $PR$ тал дээр оршино. $ABC$ гурвалжны $C$ оройгоос буусан өндрийн суурийг $C_1$ гэе. Тэгвэл $\angle QC_1C=\angle PC_1C$ болохыг батал.
4. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BC$ талыг $D$ цэгт, $CA$ талыг $E$ цэгт, $AB$ талыг $F$ цэгт шүргэнэ. $CF$ шулуун багтсан тойргийг $F$ цэгээс ялгаатай $P$ цэгт огтолно. Хэрэв $ABPE$ тойрогт багтдаг бол $DP$ шулуун $AB$ шулуунтай параллел гэж батал.
Бодолт 1.
Дүгнэх аргачлал:- Бүтэн бодолт 7 оноо.
- $\angle EPF= \angle FPB$ гэж харуулвал эсвэл үүнтэй эквивалент үр дүн 1 оноо.
5. $u(k)$-аар $k$ эерэг бүхэл тооны сүүлийн цифрийг тэмдэглэе. $a_0$ эерэг бүхэл тоо, $n>0$ үед
\[a_n=a_{n-1}+u(a_{n-1})-1\] биелнэ. Тэгвэл $\{a_n\}$ дараалал төгсгөлгүй олон 3-ын зэрэгт хэлбэртэй гишүүн агуулдаг байх $a_0$-уудыг ол.
6. $\{1,2,3,\dots,n\}$ олонлогийн $A$ дэд олонлогийн хувьд түүний элементийн тоо нь хамгийн бага элементээс нь бага бол $A$ олонлогийг жижиг олонлог гэе. Жишээ нь $\{4,7,9\}$-ийн элементийн тоо 3, хамгийн бага элемент нь 4 тул жижиг олонлог болно. Хэчнээн жижиг олонлог байх вэ? Хоосон олонлогийг жижиг олонлог гэж үзнэ.