Бодлогууд

EGMO-2023 сонгон шалгаруулалт №1, F (11-12) ангилал

1. Хэрэв $\begin{cases} a_1+a_2=1\\a_2+a_3=2\\ \vdots \\ a_{98}+a_{99}=98\\ a_{99}+a_1=99 \end{cases}$ бол $S=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots-a_{98}+a_{99}$ илэрхийллийн утгыг ол.

2. $x^{12}+mx$ , $x^3+2x^2$ , $x^2+x$ бүхэл тоонууд байдаг, $x$ иррационал, $m$ бүхэл тоонууд бол $m$ -ыг ол.

Бодолт 1.

Хариу:

m = 144

$m = 144$ .

Бодолт:

x^{3} + 2 x^{2} = a

$x^{3} + 2x^{2} = a$ ,

x^{2} + x = b

$x^{2}+x = b$ гэвэл

a - b = (x^{2} + x - 1) x = (b - 1) x

$a - b = (x^{2}+x - 1)x = (b-1)x$ байна.

a

$a$ ,

b

$b$ бүхэл ба

x

$x$ иррационал гэдгээс

b = 1

$b = 1$ байна.

F_{0} = 0

$F_{0} = 0$ ,

F_{1} = 1

$F_{1} = 1$ ба

n \geq 0

$n \ge 0$ үед

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$ гэвэл

F_{11} = 89

$F_{11} = 89$ ,

F_{12} = 144

$F_{12} = 144$ байна. Одоо индукцээр дурын

n \geq 1

$n \ge 1$ хувьд

(- x)^{n} = F_{n - 1} - F_{n} x

$(-x)^{n} = F_{n-1} - F_{n}x$ гэж харуулъя.

n = 1

$n = 1$ үед илт үнэн ба

n \geq 1

$n \ge 1$ үед үнэн бол

(- x)^{n + 1} = - x (F_{n - 1} - F_{n} x) = F_{n} (1 - x) - F_{n - 1} x = F_{n} - F_{n + 1} x

$(-x)^{n+1} = -x(F_{n-1} - F_{n}x) = F_{n}(1-x) - F_{n-1}x = F_{n} - F_{n+1}x$ үнэн.

Эндээс

$x^{12} + 144x = 89$ бүхэл. Мөн

$x$ иррационал гэдгээс

$m \ne 144$ үед

$x^{12} + mx = 89 + (m-144)x$ бүхэл биш тул

$m$ өөр утга авах боломжгүй.

Дүгнэх аргачлал:

x3+2x2, x2+x бүхэл бол x12+144x бүхэл гэж харуулахад 6 оноо. Үүнд
- $x^{6} + 8x$ бүхэл гэж харуулахад $1$ оноо.
- $x^{3} + 2x^{2}$ , $x^{2} + x$ бүхэл бол $x^{2} + x = 1$ гэж харуулахад $2$ оноо.

$x^{12} + mx$ , $x^{3} + 2x^{2}$ , $x^{2} + x$ бүхэл бол $m = 144$ гэж харуулахад $1$ оноо.

$x^{3} + 2x^{2}$ , $x^{2} + x$ бүхэл байх иррационал $x$ олдоно гэж харуулахад $1$ оноо.

Жижиг алдаа $-1$ оноо.

Дунд зэргийн алдаа $-2$ оноо.

3. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $A$ , $B$ , $C$ цэгүүд дээр татсан шүргэгчид $PQR$ гурвалжин үүсгэнэ. $A$ цэг $QR$ тал дээр, $B$ цэг $PR$ тал дээр оршино. $ABC$ гурвалжны $C$ оройгоос буусан өндрийн суурийг $C_1$ гэе. Тэгвэл $\angle QC_1C=\angle PC_1C$ болохыг батал.

4. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BC$ талыг $D$ цэгт, $CA$ талыг $E$ цэгт, $AB$ талыг $F$ цэгт шүргэнэ. $CF$ шулуун багтсан тойргийг $F$ цэгээс ялгаатай $P$ цэгт огтолно. Хэрэв $ABPE$ тойрогт багтдаг бол $DP$ шулуун $AB$ шулуунтай параллел гэж батал.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:

Бүтэн бодолт 7 оноо.

$\angle EPF= \angle FPB$ гэж харуулвал эсвэл үүнтэй эквивалент үр дүн 1 оноо.

5. $u(k)$ -аар $k$ эерэг бүхэл тооны сүүлийн цифрийг тэмдэглэе. $a_0$ эерэг бүхэл тоо, $n>0$ үед
$a_n=a_{n-1}+u(a_{n-1})-1$ биелнэ. Тэгвэл $\{a_n\}$ дараалал төгсгөлгүй олон 3-ын зэрэгт хэлбэртэй гишүүн агуулдаг байх $a_0$ -уудыг ол.

6. $\{1,2,3,\dots,n\}$ олонлогийн $A$ дэд олонлогийн хувьд түүний элементийн тоо нь хамгийн бага элементээс нь бага бол $A$ олонлогийг жижиг олонлог гэе. Жишээ нь $\{4,7,9\}$ -ийн элементийн тоо 3, хамгийн бага элемент нь 4 тул жижиг олонлог болно. Хэчнээн жижиг олонлог байх вэ? Хоосон олонлогийг жижиг олонлог гэж үзнэ.