EGMO-2023 сонгон шалгаруулалт №1, F (11-12) ангилал

1. Хэрэв {a1+a2=1a2+a3=2a98+a99=98a99+a1=99⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪a1+a2=1a2+a3=2a98+a99=98a99+a1=99 бол S=a1a2+a3a4+a98+a99S=a1a2+a3a4+a98+a99 илэрхийллийн утгыг ол.

2. x12+mxx12+mx, x3+2x2x3+2x2, x2+xx2+x бүхэл тоонууд байдаг, xx иррационал, mm бүхэл тоонууд бол mm-ыг ол.

Бодолт 1.

Хариу: m=144m=144.

Бодолт:

x3+2x2=ax3+2x2=a, x2+x=bx2+x=b гэвэл ab=(x2+x1)x=(b1)xab=(x2+x1)x=(b1)x байна. aa, bb бүхэл ба xx иррационал гэдгээс b=1b=1 байна.

F0=0F0=0, F1=1F1=1 ба n0n0 үед Fn+2=Fn+1+FnFn+2=Fn+1+Fn гэвэл F11=89F11=89, F12=144F12=144 байна. Одоо индукцээр дурын n1n1 хувьд (x)n=Fn1Fnx(x)n=Fn1Fnx гэж харуулъя. n=1n=1 үед илт үнэн ба n1n1 үед үнэн бол (x)n+1=x(Fn1Fnx)=Fn(1x)Fn1x=FnFn+1x(x)n+1=x(Fn1Fnx)=Fn(1x)Fn1x=FnFn+1x үнэн.

Эндээс x12+144x=89x12+144x=89 бүхэл. Мөн xx иррационал гэдгээс m144m144 үед x12+mx=89+(m144)xx12+mx=89+(m144)x бүхэл биш тул mm өөр утга авах боломжгүй.


Дүгнэх аргачлал:

  1. x3+2x2x3+2x2, x2+xx2+x бүхэл бол x12+144xx12+144x бүхэл гэж харуулахад 66 оноо. Үүнд


    • x6+8xx6+8x бүхэл гэж харуулахад 11 оноо.

    • x3+2x2x3+2x2, x2+xx2+x бүхэл бол x2+x=1x2+x=1 гэж харуулахад 22 оноо.


  2. x12+mxx12+mx, x3+2x2x3+2x2, x2+xx2+x бүхэл бол m=144m=144 гэж харуулахад 11 оноо.

  3. x3+2x2x3+2x2, x2+xx2+x бүхэл байх иррационал xx олдоно гэж харуулахад 11 оноо.

  4. Жижиг алдаа 11 оноо.

  5. Дунд зэргийн алдаа 22 оноо.

3. Хурц өнцөгт ABCABC гурвалжныг багтаасан тойргийн AA, BB, CC цэгүүд дээр татсан шүргэгчид PQRPQR гурвалжин үүсгэнэ. AA цэг QRQR тал дээр, BB цэг PRPR тал дээр оршино. ABCABC гурвалжны CC оройгоос буусан өндрийн суурийг C1C1 гэе. Тэгвэл QC1C=PC1CQC1C=PC1C болохыг батал.

4. ABCABC гурвалжинд багтсан тойрог BCBC талыг DD цэгт, CACA талыг EE цэгт, ABAB талыг FF цэгт шүргэнэ. CFCF шулуун багтсан тойргийг FF цэгээс ялгаатай PP цэгт огтолно. Хэрэв ABPEABPE тойрогт багтдаг бол DPDP шулуун ABAB шулуунтай параллел гэж батал.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:


  1. Бүтэн бодолт 7 оноо.


  2. EPF=FPBEPF=FPB гэж харуулвал эсвэл үүнтэй эквивалент үр дүн 1 оноо.

5. u(k)u(k)-аар kk эерэг бүхэл тооны сүүлийн цифрийг тэмдэглэе. a0a0 эерэг бүхэл тоо, n>0n>0 үед
an=an1+u(an1)1an=an1+u(an1)1 биелнэ. Тэгвэл {an}{an} дараалал төгсгөлгүй олон 3-ын зэрэгт хэлбэртэй гишүүн агуулдаг байх a0a0-уудыг ол.

6. {1,2,3,,n}{1,2,3,,n} олонлогийн AA дэд олонлогийн хувьд түүний элементийн тоо нь хамгийн бага элементээс нь бага бол AA олонлогийг жижиг олонлог гэе. Жишээ нь {4,7,9}{4,7,9}-ийн элементийн тоо 3, хамгийн бага элемент нь 4 тул жижиг олонлог болно. Хэчнээн жижиг олонлог байх вэ? Хоосон олонлогийг жижиг олонлог гэж үзнэ.