ММО-58, Улс, Багшийн ангилал, T (ДБ) ангилал
1. 4z2(2z2+1)=4xy−2x−y4z2(2z2+1)=4xy−2x−y тэгшитгэлийн бүх натурал тоон шийдийг ол.
2. Өгөгдсөн a1a1, a2a2, ……, anan дарааллын гишүүд дээр дараах үйлдлүүдийг хийж болно. Аливаа 1⩽k⩽n−21⩽k⩽n−2 дугаарын хувьд
- akak, ak+2ak+2 гишүүдийг 11-ээр ихэсгээд, ak+1ak+1 гишүүнийг 11-ээр багасгаж, эсвэл
- akak, ak+2ak+2 гишүүдийг 11-ээр багасгаад, ak+1ak+1 гишүүнийг 11-ээр ихэсгэж
болно. Анх 11, 22, ……, 20222022 гэсэн дараалал өгөгдсөн бол дээрх үйлдлүүдийг давтан хийх замаар дарааллын бүх гишүүдийг тэнцүү болгож чадах уу?
3. Дараах чанартай хамгийн бага натурал NN тоог ол.
Дурын бүхэл коэффициенттой, таван зэргийн P(x)P(x) олон гишүүнтийн хувьд |P(x)|>1N|P(x)|>1N байх 0≤x≤10≤x≤1 тоо олдоно.
4. n≥1n≥1 гэе. Ялгаатай a1a1, ……, a2n+2a2n+2 бүхэл тоонууд өгөгдөв. Хэрэв |i−j|≤n|i−j|≤n байх ii, jj дугаар бүрийн хувьд |ai−aj|≤n|ai−aj|≤n байдаг бол a2n+2−a1a2n+2−a1 ялгавар (2n+1)(2n+1)-д хуваагдахыг харуул.
5. ABCABC гурвалжинд багтсан тойргийн төв II цэгийг дайруулан BIBI хэрчимд перпендикуляр байхаар татсан шулуун ABCABC гурвалжныг багтаасан тойргийн ABAB ба BCBC бага нумуудтай харгалзан XX ба YY цэгүүдэд огтлолцоно. AI∥PYAI∥PY ба CI∥XPCI∥XP байхаар PP цэгийг сонгоё. Хэрэв XAXA ба YCYC шулуунууд QQ цэгт огтлолцдог бол II, PP, QQ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.
6. Дараах чанартай хамгийн бага эерэг бодит 0<c<10<c<1 тоог ол.
n≥3n≥3 оройтой, гурвалжин агуулаагүй, орой бүрийн зэрэг нь cncn тооноос эрс их байдаг энгийн граф бүр хоёр туйлт байна.
Тайлбар: гогцоогүй, өөрөөр хэлбэл нэг оройгоос эхлээд тэр орой дээрээ дуусдаг ирмэггүй, ямар ч хоёр оройг нэгээс олон ирмэг холбодоггүй, чиглэлгүй графыг энгийн граф гэнэ. Оройгоос гарсан ирмэгийн тоог тус оройн зэрэг гэнэ. Аль ч хоёр нь ирмэгээр холбогдсон гурван оройтой графыг гурвалжин гэнэ. Ижил өнгөтэй оройнууд ирмэгээр холбогдоогүй байхаар оройнуудыг нь хоёр өнгөөр будаж болдог графыг хоёр туйлт гэнэ.