ММО-59, III даваа, E (9-10) ангилал

1. (a+b)2=a3+b3 байдаг бүх бүхэл тоон ab хосыг ол.

2. Элдэв талтABC гурвалжны BC тал дээр B ба C цэгээс ялгаатай X цэг тэмдэглэв.ABC гурвалжны AL биссектрисийн хувьд AX шулуунтай тэгш хэмтэй шулуун BC шулууныг Y цэгт огтолно. AL хэрчмийн дундаж цэгт татсан перпендикуляр шулуун BC талтай O цэгт огтлолцоно. ABX ба ACY гурвалжнуудыг багтаасан тойргийн төвүүд болон O цэг нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

3. k натурал тоо гэе. Аль ч хоёрынх нь ялгавар 2023-д хуваагддаггүй, дараах чанартай a1, a2, , a2021 бүхэл тоон дараалал оршин байдаг бол k тоог сайн тоо гэж нэрлэе: ямар ч ai гишүүний хувьд aikaj ялгавар 2023-д хуваагддаг байх aj гишүүн олдоно.

100-аас хэтэрдэггүй бөгөөд тэгш хамгийн их сайн тоог ол.

4. ABC гурвалжны AC талын дундаж цэгийг M гэж тэмдэглэе. ABC гурвалжны дотор талд BAP=BCP байх P цэг авав. CP шулуун AB талыг R цэгт огтолдог гээд B оройгоос CP шулуунд буулгасан перпендикулярын суурийг Q гэе. Q цэг ABC гурвалжин дотор орших ба QM=PC/2 бол RQ=QP гэж батал.

5. n×n шатрын хөлгийн нүднүүдэд нүд бүрийн хөршүүдийн яг хоёр нь даамтай байхаар даамууд байрлуулж болдог бүх натурал n тоог ол. Ерөнхий талтай хоёр нүдийг хөрш гэнэ.

6. a, b, c тоонуудын хувьд 0abc ба a+b+c=1 байдаг бол
abba+bccb+caca<14
гэж батал.