1. $-3 \le x, y \le 3$ тоонуудын хувьд
\begin{equation}
0 \le (x^{2} + 1)(y^{2} + 1) + 4(x - 1)(y - 1) \le 164
\end{equation}
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

2. $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$ бөгөөд $\angle BCD < 90^{\circ}$ байх $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. $P$, $Q$ цэгүүдийг $\angle APC=\angle AQC=\angle BCD$ байхаар харгалзан $CB$, $CD$ цацрагууд дээрээс авав. $BCDE$ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болдог $E$ цэгийн хувьд $EDB$ гурвалж\-ныг багтаасан тойргийн төв $PQ$ хэрчмийн дундаж цэг болно гэж батал.

3. Натурал $m$, $n$ тоонуудын хувьд $A = m^{4} + 3m^{2}n^{2} + n$ тоо
\begin{equation}
B = n^{3} + 4 mn^{2} + 3m^{2}n + 4m^{3} -1
\end{equation}
тоонд хуваагддаг бол $B$ тоо ямар нэг анхны тооны $4$ зэрэгтэд хуваагдана гэж батал.

4. Натурал $n$ тооны хамгийн том анхны тоон хуваагчийг $P(n)$ гэж тэмдэглэе. $P(n-1)$, $P(n)$, $P(n+1)$ тоонууд бүгдээрээ $2\sqrt{n}$ тооноос бага байдаг $n \ge 2^{2019}$ тоо олдоно гэж харуул.

5. Элдэв талт $ABC$ гурвалжинд багтсан $I$ төвтэй тойрог $BC$ талыг $E$ цэгт шүргэх ба $AI$ шулуун $BC$ талыг $F$ цэгт огтолно. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AEF$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $A$ цэгээс ялгаатай $D$ цэгт огтолдог бол $\angle ADI = 90^{\circ}$ гэж батал.

6. Сондгой тооны сурагчтай анги байв. Сурагч бүр ядаж нэг найзтай ба ерөнхий найзтай ямар ч хоёр сурагч ялгаатай тооны найзтай байв.

1. Яг 3 найзтай сурагч үргэлж олдох уу?
   


2. Яг 6 найзтай сурагч үргэлж олдох уу?