IMO-65 сорилго №2, F (11-12) ангилал
1.
Дүгнэх аргачлал:
- $BC$ болон $DE$-ын огтлолд үүсэх цэгийг авч үзэх (1 оноо)
- $AC\parallel DE$, $BC\parallel AD$ батлах (2 оноо)
1 болон 2 хоорондоо нэмэгдэхгүй. - Бүтэн бодолт (7 оноо)
- Жижиг алдаа $-1$ оноо.
- Том алдаа $-2$ оноо.
2. Бодлого №2
Дүгнэх аргачлал:
- Хариу зөв бол (1 оноо)
- Байгуулалт хийвэл (3 оноо)
- Үнэлгээ (3 оноо)
- Бүтэн бодолт (7 оноо)
- Жижиг алдаа $-1$ оноо.
- Том алдаа $-2$ оноо.
3. Бодлого №3
Дүгнэх аргачлал:
- $a+b+c+d$ квадратаас чөлөөт байж чадахгүй (3 оноо).
(-) $\forall p\in\mathbb P$: Хэрэв $p\mid a+b+c+d\Rightarrow p\mid a+b$ (1 оноо). (Өмнөхийг хийгээгүй) - (I) $(a,b,c,d)$ шийд $\Rightarrow(ka,kb,kc,kd)$ шийд (1 оноо)
(II) $\forall k\in\mathbb N$ хувьд $a+b+c+d=k^2$ байх $(a,b,c,d)$ олдоно (2 оноо)
(III) I, II-оос $\forall k,l\in\mathbb N: a+b+c+d=l\cdot k^2$ байх $(a,b,c,d)$ олдоно (4 оноо) (III дээр I, II-ийг нэмэхгүй) - Жижиг алдаа $-1$ оноо.
- Том алдаа $-2$ оноо.
4. Бодлого №4
Дүгнэх аргачлал:
- $p=2$ үед шийдгүй гэж харуулбал (2 оноо)
- $p\ge 5$ үед шийдгүй гэж харуулбал (2 оноо)
- $p=3$ үед бүх шийдийг олбол (2 оноо)
- Бүтэн бодолт (7 оноо)
- Жижиг алдаа $-1$ оноо.
- Том алдаа $-2$ оноо.
5. Бодлого №5
Дүгнэх аргачлал:
- $a_k > a_{k-1} > a_{k-2}$ байх $a_{k-1}$ тоог авч үзвэл (2 оноо)
- Бүтэн бодолт (7 оноо)
- Жижиг алдаа $-1$ оноо.
- Том алдаа $-2$ оноо.
6. Бодлого №6
Дүгнэх аргачлал:
- $AD$, $NJ$, $MI$ нэг цэгт огтлолцоно (1 оноо)
- $A$ цэг нь $XD$-ийн дундаж цэг (2 оноо)
- $\triangle PXC\sim\triangle PAD$ (3 оноо)
$\triangle PDC\sim\triangle PAX$ (1 оноо) (3-ийг хийгээгүй) - (1), (2), (3)-аас бодлого бодогдоно (1 оноо)
- Бүтэн бодолт (7 оноо)
- Жижиг алдаа $-1$ оноо.
- Том алдаа $-2$ оноо.