1. $x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3=x_5-x_4=x_6-x_5$ байх $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$
бодит тоонууд өгөгдөв. Хэрэв $x_1+x_2+x_3=25$ ба $x_4+x_5+x_6=61$ бол $x_2-x_1$ ялгаврыг ол.

Хариу: 4

2. $465$-ыг натурал $a$ тоонд хуваахад гарах ноогдвор ба үлдэгдэл нь тэнцүү байдаг бүх $a$ тооны нийлбэрийг ол.

Хариу: 740

3. Шинэ мөөгний $94\%$-ийг, харин хатаасан мөөгний $14\%$-ийг ус эзэлнэ. Мөөгийг хатаахад зөвхөн ус нь ууршина гэж үзье. Хатаасан мөөгийг усанд дэвтээсний дараа жин нь 5 дахин өсдөг байв. Чимгээ түүсэн мөөгнийхөө жинг мөөгөө хатаагаад усанд дэвтээсний дараах жинтэй харьцуулахад $p:q$ гарсан ба ХИЕХ$(p,q)=1$ байв. $p+q$ нийлбэрийг ол.

Хариу: 58

4. $1\times 8 \times 15\times22\times\dots\times2024$ үржвэрийг $x$, $y$, $z$, $t$ натурал тоонуудын хувьд $2^x\times3^y\times5^z\times t$ хэлбэртэй бичсэн бол $x+y+z$ нийлбэрийн хамгийн их утгыг ол.

Хариу: 507

5. Зөв $11$ өнцөгтийн оройнууд дээр оройтой адил хажуут биш гурвалжин хэд байх вэ?

Хариу: 110

6. $x^2y^3=7xy$ ба $-20 \leq x \leq 20$ ба $-20\leq y \leq 20$ байх $(x, y)$ бүхэл тоон хос хэд байх вэ?

Хариу: 83

7. 100 хүртэлх натурал тоонууд дотор $3$-ын ялгаатай зэрэгтүүдийн нийлбэрт тавигдах хэдэн тоо байгаа вэ? Жишээлбэл $1 = 3^{0}$, $4=3^0+3^1$, $9=3^2$, $31=3^0+3^1+3^3$ тул нөхцөл хангана. Харин $7=3^0+ 3^1+3^1$, ~~$18=3^2+3^2$, ~~$32=3^0+3^0+3^1 +3^3$ тул нөхцөл хангахгүй.

Хариу: 23

8. $m$, $n$ натурал тоонууд ба ХИЕХ$(m,n)=3$ бол $3m+7n$, $11m+2n$ тоонуудын ерөнхий хуваагч хамгийн ихдээ ямар тоо байж болох вэ?

Хариу: 213

9. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог, $A$ болон $B$ оройгоос буусан өндрүүдтэй дахин харгалзан $D$, $E$ цэгүүдэд огтлолцоно. $AB=DE$ бол $\angle ACB$ өнцгийг ол.

Хариу: 60

10. Адил талт $ABC$ гурвалжны талын урт $7860$ нэгж байв. $AB$ шулуун дээр $D$ цэгийг $B$, $D$ цэгүүд $A$ оройн хоёр талд байх бөгөөд $AD=2358$ байхаар авав. $AC$ тал дээр $E$ цэгийг $AE:EC=3:7$ байхаар авав. $DE$ шулуун $BC$ талтай $F$ цэгт огтлолцоно. $CF$ хэрчмийн уртыг ол.

Хариу: 2751