1. Квадрат дээр нь $61$-ийг нэмэхэд натурал тооны куб гардаг хамгийн бага натурал тоог ол.

Хариу: 8

2. $x$, $y$ эерэг тоонуудын хувьд $\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$ ба $\sqrt{x+2} +\sqrt{y+2} =5$ байв. $x+y$ нийлбэрийг харилцан анхны $n$, $m$ натурал тоонуудын хувьд $n/m$ хэлбэртэй бичиж болдог бол $n+m$ нийлбэрийг ол.

Хариу: 187

3. Зөв $21$ өнцөгтийн оройнууд дээр оройтой элдэв талт гурвалжин хэд байх вэ?

Хариу: 1134

4. $6$ нэгж радиустай дугуйг төвөөс нь $1$ нэгж зайтай $CD$ хөвчөөр хоёр хэсэгт хуваасан ба дугуйн бага талбайтай хэсэг бохирдсон байв. Бохирдоогүй хэсэгт хоёр орой нь $CD$ нум дээр, хоёр орой нь $CD$ хөвч дээр оршдог байхаар хамгийн их талбайтай тэгш өнцөгтийг багтаасан бол уг тэгш өнцөгтийн $CD$ хөвчтэй перпендикуляр талын урт хэдэн нэгж вэ?

Хариу: 5

5. $400$ ба $600$ хуваарьтай хоёр эерэг, үл хураагдах бутархайн нийлбэрийг үл хураагдах хэлбэртэй бичихэд хуваарь нь хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?

Хариу: 48

6. $a$, $b$ бүхэл тоонууд ба $P(x)$ бүхэл коэффициенттой олон гишүүнтийн хувьд $x^{61}-1 = (x^{2}+x+1)P(x) + ax + b$ байдаг бол $2025a + b$ нийлбэрийг ол.

Хариу: 2024

7. $a_1$, $a_2$, $a_{3}$, $a_4$ натурал тоонуудын нийлбэр $a_1+a_2+a_{3}+a_4=15$ бол
$$\begin{equation} \dfrac{a_1}{1}+\dfrac{a_2}{1+a_1}+\dfrac{a_3}{1+a_1+a_2}+\dfrac{a_4}{1+a_1+a_2+a_3} \end{equation}$$
илэрхийллийн авч болох хамгийн бага утгын бүхэл хэсгийг ол.

Хариу: 4

8. $\angle A=60^\circ$, талын урт нь $2$ нэгж байх $ABCD$ ромбын $AB$ тал дээр $P$ цэгийг, $AD$ тал дээр $Q$ цэгийг $PQ$ шулуун $ABCD$ ромбд багтсан тойргийг шүргэдэг байхаар авав. $\triangle PCQ$ гурвалжны талбай $\sqrt{n}$ хэлбэртэй бичигддэг бол $n$ тоог ол.

Хариу: 88888888

9. $ABCD$ дөрвөн өнцөгт $\omega$ тойрогт багтаж байв. $\omega$ тойргийн $C$, $D$ оройг агуулдаггүй $AB$ нумын дундажыг $F$ гэе. $FD$, $AC$ шулуунууд $P$ цэгт, $FC$, $BD$ шулуунууд $Q$ цэгт, $FC$, $AB$ шулуунууд $T$ цэгт тус тус огтлолцоно. Хэрэв $AT =25$, $TB = 20$ ба $AP:PC=2:3$, $BQ:QD=1:4$ байсан бол $6BQ^2-QC^2$ илэрхийллийн утгыг ол.

Хариу: 450

10. $a$, $b$, $c$ натурал тоонуудын хувьд $a^{3}+b^{3} =c^{3} + 2025$ байдаг бол $c$ тоо хамгийн багадаа ямар утга авах вэ?

Хариу: 82

11. Нийлбэр нь $21$ байдаг, сүүлийн гишүүнээс бусад бүх гишүүн нь дараагийн гишүүнээ хуваадаг натурал тоон дараалал хэд байх вэ?

Хариу: 147

12. Цифрүүдийн нийлбэр нь $9$ байдаг натурал тооны дөрвөн зэрэгтийн цифрүүдийн нийлбэр хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?

Хариу: 2025