1. $4\times 5$ хүснэгтийн нүднүүдийг уг хүснэгтийн аль ч $2\times 2$ дэд хүснэгтэд яг нэг будагдсан нүд байхаар хэчнээн янзаар будаж болох вэ?

2. $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x = y^{6} + 61$ тэгшитгэл бүхэл тоон шийдгүй гэж батал.

3. $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$ байдаг $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагоналууд $P$ цэгт огтлолцоно. $P$ цэгийг дайрсан $AD$ талтай параллел шулуун $BC$ шулуунтай $K$ цэгт, $P$ цэгийг дайрсан $AB$ талтай параллел шулуун $DC$ шулуунтай $L$ цэгт огтлолцоно. $KLC$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $\omega$ гэе. $AC$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $E$ цэгт огтлолцоно. $KL$ шулуун $AB$ шулуунтай $M$ цэгт, $AD$ шулуунтай $N$ цэгт огтлолцоно. $\omega$ тойрог $EM$ шулуунтай дахин $Q$ цэгт, $EN$ шулуунтай дахин $R$ цэгт огтлолцдог бол $QR=KL$ гэж батал.

4. $BC$, $AD$ талууд нь тэнцүү урттай байдаг $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгт өгөгджээ. $BC=CE=DE$ байдаг $E$ цэгийг $E$ болон $A$ цэгүүд $CD$ шулууны хоёр өөр талд оршиж байхаар авав. Хэрэв $\angle BAE+\angle CBE=90^\circ$ байсан бол $\angle ABE+\angle DAE=90^\circ$ гэж батал.

5. $P(X) = X^{5} + 61X + 2025$ олон гишүүнтийг бүхэл коэффициенттой хоёр тогтмол биш олон гишүүнтийн үржвэрт тавьж болохгүй гэж батал.

6. $2024 \times 2024$ хэмжээтэй хүснэгтийн нүднүүдийг $1 \times 2$ болон $2 \times 1$ хэмжээтэй доминогоор давхардалгүй хучсан ба сурагч хүснэгтийн аль нэг нүдэнд робот тавив. Робот доминогийн нэг нүднээс нөгөө нүдрүү шилжих ба шилжсэн чиглэлд нь дараагийн домино байвал тэр домино руу шилжинэ, дараагийн домино байхгүй бол хөдөлгөөнөө зогсооно. Робот хэсэг хугацааны дараа анх эхэлсэн байрандаа ирж чадах уу?