Бодолт 1.

1. Бүтэн бодолт 7 оноо,
   


2. $n\leq 10$ үед болохгүй гэж харуулбал 5 оноо,
   Үүнээс
   
   
   1. $n< 10$ үед харуулбал 1 оноо,
      
   
   
   2. $n= 10$ үед харуулбал 4 оноо,
      
   
   
   
   


3. $n=11$ үед байгуулалт хийж харуулбал 2 оноо.
   

Бодолт 1.

1. $a+b+c=s$, $a^2+b^2+c^2=q$, $ab+bc+ca=r$ эдгээрээс аль нэг 2-ыг нь авч үзвэл 1 оноо,
   


2. Өгсөн тэнцлийг $s,q,r$-аар илэрхийлбэл 3 оноо,
   


3. Өгсөн тэнцлийг үржигдэхүүнд задлаад $q^2-\frac{1}{2}ks^2$ гэж гаргавал 5 оноо,
   


4. Бүтэн бодолт 7 оноо,
   

Бодолт 1.

1. Бүтэн бодолт 7 оноо,
   


2. $KI\perp BC$ гэж баталбал 4 оноо.
   

Бодолт 1.

1. Бүтэн бодолт 7 оноо,
   


2. $n^5\equiv 1,-1~(mod 11)$ гэж бичвэл 1 оноо,
   


3. $n^5+5^n$ 11-д хуваагдана гэдгээс $n^5\cdot 5^n+1$ 11-д хуваагдана гэж баталбал 3 оноо,
   


4. $n^5\cdot 5^n+1$ 11-д хуваагдана гэдгээс $n^5+5^n$ 11-д хуваагдана гэж баталбал 3 оноо,
   

Бодолт 1.

1. 1-р бодолтоор
   
   
   
   1. $XH\cdot XB=FX\cdot XD$ эсвэл $YD\cdot YE=YH\cdot YC$-ийг авч үзвэл 2 оноо,
      
   
   
   2. $XY$ нь $\omega(DEF)$, $\omega(BHC)$-ийн радикал тэнхлэг гэж харуулбал 2 оноо,
      
   
   
   3. $A$ нь $\triangle BHC$-ийн ортотөв гэж харуулбал 1 оноо,
      
   
   
   4. $(DEF)$ нь $\triangle BHC$-ийн 9 цэгийн тойрог гэж харуулбал 1 оноо,
      
   
   
   5. Эндээс $\triangle BHC$-ийн хувьд Эйлер ашиглаад дуусгавал 1 оноо.
      
   
   
   
   


2. 2-р бодолтоор $XY\cap AO'=T$ гэе.
   
   
   
   1. $(ATFY)$ эсвэл $(ATEX)$ тойрогт багтан гэж батлахад хангалттай гэж харуулбал 1 оноо,
      
   
   
   2. $\dfrac{\sin HXY}{\sin HYX}=\dfrac{\sin BAT}{\sin CAT}$ гэж баталбал 4 оноо,
      
   
   
   3. Эндээс бодолт дуусгавал 2 оноо,
      
   
   
   
   


3. Ямар нэгэн леммийг дурдалгүйгээр шууд ашиглавал 1 оноо хасна,
   


4. Илэрхий өнцөг хөөвөл 0 оноо.
   

Бодолт 1.

1. Бүтэн бодолт 7 оноо,
   


2. $n=1$, $n=2$ үед бодвол 0 оноо,
   


3. $n=2k$ үеийн байгуулалт 3 оноо,
   


4. $n=2k+1$ үеийн болохгүй байгуулалт олбол 4 оноо,
   


5. $n=1$, $n=2$ үеийг дурдаагүй бол 1 оноо хасна.