1. $\underbrace{66\dots6}_\text{61}\underbrace{11\dots1}_\text{61}$ тоо $61$-т хуваагдана гэж батал.

2. Гурвалжин хэлбэртэй цайзын гурван талын дундаж цэг болон гурван орой дээр харуулын цамхаг байдаг гэе. Талын дундаж цэг дээр байгаа харуул тэр талаа хамгаалж чадна, орой дээр байгаа харуул залгаа хоёр талаа хамгаалж чадна.

Жишээлбэл, цайзын тал болгоныг яг $1$ харуул хамгаалдаг байхаар харуулуудыг нийт $4$ янзаар байрлуулж болно.

Цайзын тал болгоныг яг $11$ харуул хамгаалдаг байхаар харуулуудыг нийт хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

3. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $\omega$-ийн $BC$ жижиг нумын дунджийг $M$ гэе. $AM$ хэрчим дээр $D$ цэгийг авсан ба $D$ цэг $ABC$ гурвалжин дотор оршиж байв. $BD$ шулуун, $AC$ талтай $N$ цэгт, $\omega$ тойрогтой дахин $P$ цэгт огтлолцоно. $AN$ хэрчим дээр $\angle NDE=\angle CAM$ байх $E$ цэг авав. $DE$ шулуун $BC$ талтай $F$ цэгт огтлолцоно. $M$ цэгийг дайрсан $BP$ шулуунтай параллел шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $L$ цэгт огтлолцоно. $EP$, $DL$, $FM$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэж батал.

4. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн $C$, $D$, оройнуудыг агуулдаггүй $AB$ нумын дунджийг $E$ гээд $A$, $B$, оройнуудыг агуулдаггүй $CD$ нумын дунджийг $F$ гэе. $AC\cap BF=K$, $BD\cap AF=L$, $AC\cap DE=M$, $BD\cap CE=N$ байг. $\angle DML=\angle CNK$ гэж батал.

5. Бодит тоон $\{a_{n}\}_{n = 1}^{\infty}$ дарааллын хувьд $a_{1} = 1$, $a_{2} = 3$ ба $n \ge 1$ үед
\begin{equation}
a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{3a_{n+1} - 1}{a_{n+1}-a_{n}}
\end{equation}
байв. $\{a_{n}\}$ дарааллын гишүүд натурал болохыг баталж $a_{61}$ гишүүнийг ол.

6. Натурал $N$ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг $S(N)$ гэж тэмдэглэе.
\begin{equation}
S(n)+S(2n)+S(3n)+\dots+S(n^2)=\frac{4n^2}{15}+9
\end{equation}
байдаг бүх натурал $n$ тоог ол.