ММО-61, II даваа II шат, T (ДБ) ангилал
1.
- $t \ge 2$ бол $t^{3} \ge t^{2} + 4$ байна гэж баталж тэнцэтгэл биелэх нөхцөлийг ол.
- $t_{1}$, $t_{2}, \dots, t_{n} \ge 2$ тоонуудын хувьд
\begin{equation}
\dfrac{t_{1}^{3}}{t_{2}^{2}+4} + \dfrac{t_{2}^{3}}{t_{3}^{2}+4} + \dots + \dfrac{t_{n-1}^{3}}{t_{n}^{2}+4} + \dfrac{t_{n}^{3}}{t_{1}^{2}+4} \ge n
\end{equation}
байна гэж баталж тэнцэтгэл биелэх нөхцөлийг ол.
2.
Гурвалжин хэлбэртэй цайзын гурван талын дундаж цэг болон гурван орой дээр харуулын цамхаг байдаг гэе. Талын дундаж цэг дээр байгаа харуул тэр талаа хамгаалж чадна, орой дээр байгаа харуул залгаа хоёр талаа хамгаалж чадна.
Жишээлбэл, цайзын тал болгоныг яг $1$ харуул хамгаалдаг байхаар харуулуудыг нийт $4$ янзаар байрлуулж болно.
Цайзын тал болгоныг яг $n$ харуул хамгаалдаг байхаар харуулуудыг нийт хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
Жишээлбэл, цайзын тал болгоныг яг $1$ харуул хамгаалдаг байхаар харуулуудыг нийт $4$ янзаар байрлуулж болно.
図 зураг: XLAT блок
Цайзын тал болгоныг яг $n$ харуул хамгаалдаг байхаар харуулуудыг нийт хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
3.
$\omega$ тойрогт хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжин багтжээ. $\omega$ тойргийн $AB$ жижиг нумын дунджийг $M$ гэе. $\omega$ тойргийн $B$ цэгт татсан шүргэгч шулуун, $AC$ шулуунтай $P$ цэгт огтлолцоно. $PM$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $G$ цэгт огтлолцоно. $\omega$ тойргийн $G$ цэг дээрх шүргэгч шулуун $BC$ шулуунтай $Q$ цэгт огтлолцоно. $AB$, $CG$ шулуунууд $K$ цэгт огтлолцох ба $P$, $Q$, $K$, $C$ цэгүүд нэг тойрог дээр орших бол $KQ$, $GB$ шулуунууд параллел гэж батал.
4.
$ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $D$ цэгийг, $BC$ тал дээр $E$ цэгийг $ADEC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтаж байхаар авав. $BDE$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $B$ оройг агуулаагүй $DE$ нум дээр $X$, $Y$ ялгаатай цэгүүдийг $BX=BY$ байхаар авав. $XY$, $AC$ шулуунууд параллел гэж батал.
5.
Бодит тоон $\{a_{n}\}_{n = 1}^{\infty}$ дарааллын хувьд $a_{1} = 1$, $a_{2} = 3$ ба $n \ge 1$ үед
\begin{equation}
a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{3a_{n+1}^{2} - 1}{a_{n+1}-a_{n}}
\end{equation}
байв. $\{a_{n}\}$ дарааллын гишүүд натурал болохыг баталж $a_{61} > 4^{61}$ гэж харуул.
\begin{equation}
a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{3a_{n+1}^{2} - 1}{a_{n+1}-a_{n}}
\end{equation}
байв. $\{a_{n}\}$ дарааллын гишүүд натурал болохыг баталж $a_{61} > 4^{61}$ гэж харуул.
6.
$m \le 2n-2$ бөгөөд
\begin{equation}
a^{n} + b^{n} = (a, b)^{m} (a+b),\quad b^{n} + c^{n} = (b, c)^{m} (b+c),\quad c^{n} + a^{n} = (c, a)^{m} (c+a)
\end{equation}
байдаг бүх натурал тоон $(a, b, c, m, n)$ тавтыг ол. Энд $x$, $y$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагчийг $(x, y)$ гэж тэмдэглэв.
\begin{equation}
a^{n} + b^{n} = (a, b)^{m} (a+b),\quad b^{n} + c^{n} = (b, c)^{m} (b+c),\quad c^{n} + a^{n} = (c, a)^{m} (c+a)
\end{equation}
байдаг бүх натурал тоон $(a, b, c, m, n)$ тавтыг ол. Энд $x$, $y$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагчийг $(x, y)$ гэж тэмдэглэв.