ММО 61, III даваа, E (9-10) ангилал
1.
$X$ олонлогийн элементүүдийн нийлбэрийг \( S(X) \) гэж тэмдэглэе.
$2^1$, $2^2, \dots, 2^{10}$ тоонуудыг \( A \) ба \( B \) олонлогт хувааж хийе.
\[
x^2 - S(A)x + S(B) = 0
\]
тэгшитгэл натурал тоон шийдтэй байдаг байхаар $2^1$, $2^2$, \dots, $2^{10}$ тоонуудыг \( A \) ба \( B \) олонлогт хэдэн янзаар хувааж хийх боломжтой вэ? (\( A \) эсвэл \( B \) олонлог хоосон байж болно.)
$c_1$, $c_2$, \dots ,$c_n$ тоонуудыг \( A \) ба \( B \) олонлогт хувааж хийнэ гэдэг нь \( A \), \( B \) олонлогууд ерөнхий элементгүй ба $c_1$, $c_2, \dots, c_n$ тоонууд \( A \), \( B \) олонлогуудын аль нэгэнд нь заавал орно гэсэн үг.
$2^1$, $2^2, \dots, 2^{10}$ тоонуудыг \( A \) ба \( B \) олонлогт хувааж хийе.
\[
x^2 - S(A)x + S(B) = 0
\]
тэгшитгэл натурал тоон шийдтэй байдаг байхаар $2^1$, $2^2$, \dots, $2^{10}$ тоонуудыг \( A \) ба \( B \) олонлогт хэдэн янзаар хувааж хийх боломжтой вэ? (\( A \) эсвэл \( B \) олонлог хоосон байж болно.)
$c_1$, $c_2$, \dots ,$c_n$ тоонуудыг \( A \) ба \( B \) олонлогт хувааж хийнэ гэдэг нь \( A \), \( B \) олонлогууд ерөнхий элементгүй ба $c_1$, $c_2, \dots, c_n$ тоонууд \( A \), \( B \) олонлогуудын аль нэгэнд нь заавал орно гэсэн үг.
2.
$a_0=2^{2025}$ тоо өгөгдсөн. Хоёр тоглогч ээлжлэн дараах дүрмээр тоглоно:
$n$-р ээлжинд тоглогч $a_{n}=a_{n-1}+1$ эсвэл $a_{n}=S(a_{n-1})$ тоонуудын аль нэгийг дараалалд нэмж бичнэ.
Хэрвээ дараалалд гурван ижил тоо гарсан эсвэл дарааллын дараалсан дөрвөн гишүүн арифметик прогресс үүсгэж байвал тоглоомыг зогсоож хамгийн сүүлд тоо бичсэн тоглогч ялагч болно. Зөв тоглоход аль тоглогч хожих вэ?
Энд $S(n)$ нь $n$ тооны цифрүүдийн нийлбэр юм.
$n$-р ээлжинд тоглогч $a_{n}=a_{n-1}+1$ эсвэл $a_{n}=S(a_{n-1})$ тоонуудын аль нэгийг дараалалд нэмж бичнэ.
Хэрвээ дараалалд гурван ижил тоо гарсан эсвэл дарааллын дараалсан дөрвөн гишүүн арифметик прогресс үүсгэж байвал тоглоомыг зогсоож хамгийн сүүлд тоо бичсэн тоглогч ялагч болно. Зөв тоглоход аль тоглогч хожих вэ?
Энд $S(n)$ нь $n$ тооны цифрүүдийн нийлбэр юм.
3.
$O$ цэгт төвтэй $\omega$ тойрогт багтсан элдэв талт $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ байг. $BI$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $M$ цэгт огтлолцдог байг. $I$ цэгийн $AC$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй орших цэгийг $I_B$ гэе. $MI_B$ шулуун $\omega$ тойрогтой $D\neq M$ цэгт огтлолцдог байг. Мөн $DO$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $E$ цэгээр огтлолцдог байг. $OI$ ба $BE$ шулуунууд параллел гэж батал.
4.
$ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $K$, $L$ цэгүүдийг, $AC$ тал дээр $M$ цэгийг, $AB$ тал дээр $N$ цэгийг, $\triangle KMC\sim \triangle ABC$ ба $\triangle LNB\sim \triangle ABC$ мөн $NL$, $KM$ хэрчмүүд $ABC$ гурвалжны дотор $P$ цэгт огтлолцдог байхаар авав. $AMP$ гурвалжныг багтаасан тойрог $CP$ шулуунтай дахин $X$ цэгт, $ANP$ гурвалжныг багтаасан тойрог $BP$ шулуунтай дахин $Y$ цэгт огтлолцоно. $B$, $C$, $X$, $Y$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэж батал.
5.
Бүгд $2$-оос хэтэрдэггүй $a$, $b$, $c$, $d$ бодит тоонуудын хувьд
\begin{equation}
\dfrac{a^{3}}{b^{2}+4} + \dfrac{b^{3}}{c^{2}+4} + \dfrac{c^{3}}{d^{2}+4} + \dfrac{d^{3}}{a^{2}+4} \le 4
\end{equation}
байна гэж батал.
\begin{equation}
\dfrac{a^{3}}{b^{2}+4} + \dfrac{b^{3}}{c^{2}+4} + \dfrac{c^{3}}{d^{2}+4} + \dfrac{d^{3}}{a^{2}+4} \le 4
\end{equation}
байна гэж батал.
6.
$S$ натурал тоо $m$ оронтой ба $10^n - 3$ ($n\geq 3$) ялгаварт хуваагддаг. Хэрэв $2n-1 > m > n$ бол $S$ тооны аравтын бичлэгт (ядаж) гурван өөр цифр байхыг харуул.