ММО 61, III даваа, IMO-66, сорилго №2, F (11-12) ангилал
1.
$a_0=2^{2025}$ тоо өгөгдсөн. Хоёр тоглогч ээлжлэн дараах дүрмээр тоглоно:
$n$-р ээлжинд тоглогч $a_{n}=a_{n-1}+1$ эсвэл $a_{n}=S(a_{n-1})$ тоонуудын аль нэгийг дараалалд нэмж бичнэ.
Хэрвээ дараалалд гурван ижил тоо гарсан эсвэл дарааллын дараалсан дөрвөн гишүүн арифметик прогресс үүсгэж байвал тоглоомыг зогсоож хамгийн сүүлд тоо бичсэн тоглогч ялагч болно. Зөв тоглоход аль тоглогч хожих вэ?
Энд $S(n)$ нь $n$ тооны цифрүүдийн нийлбэр юм.
$n$-р ээлжинд тоглогч $a_{n}=a_{n-1}+1$ эсвэл $a_{n}=S(a_{n-1})$ тоонуудын аль нэгийг дараалалд нэмж бичнэ.
Хэрвээ дараалалд гурван ижил тоо гарсан эсвэл дарааллын дараалсан дөрвөн гишүүн арифметик прогресс үүсгэж байвал тоглоомыг зогсоож хамгийн сүүлд тоо бичсэн тоглогч ялагч болно. Зөв тоглоход аль тоглогч хожих вэ?
Энд $S(n)$ нь $n$ тооны цифрүүдийн нийлбэр юм.
2.
Натурал $n$ тооноос бага $n$-тэй харилцан анхны натурал тооны тоог $\varphi(n)$ гэж тэмдэглэе. Жишээлбэл $\varphi(6) = |\{1, 5\}| = 2$ ба $\varphi(1) = |\{1\}| = 1$ байна.
$a$, $b$, $c$, $d$ сөрөг биш бүхэл тоонуудын хувьд $\varphi(2^{a} (2b+1)) = 2^{c}(2d+1)$ байв. $b \ge 1$ гэе.
$a$, $b$, $c$, $d$ сөрөг биш бүхэл тоонуудын хувьд $\varphi(2^{a} (2b+1)) = 2^{c}(2d+1)$ байв. $b \ge 1$ гэе.
- $a \le c$ гэж батал.
- $b \ge 2d +1$ гэж батал.
3.
$\omega$ тойрогт багтсан элдэв талт $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ байг. $BI$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $M$ цэгт огтлолцдог байг. $I$ цэгийн $AC$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй орших цэгийг $I_B$ гэе. $\omega$ тойргийн $AM$ бага нум дээр $H$ цэгийг $\angle BHI_B=90^\circ$ байхаар сонгов. $II_B$ хэрчим ба $AC$ хэрчмүүдийн огтлолцлын цэгийг $T$ гэе. $HT$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $N$ цэгт огтлолцдог байг. $MN$ хэрчим ба $AC$ хэрчмүүдийн огтлолцлын цэгийг $R$ гэе. Тэгвэл $IRM$ гурвалжныг адил хажуут гурвалжин болохыг батал.
4.
$AB \neq AC$ байх $ABC$ гурвалжны ортотөвийг $H$ гэе. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $A$ оройг агуулаагүй $BC$ нум дээр $T$ цэг авав. $H$ цэгийг дайрсан $BC$ талтай параллел $l$ шулуун, $TB$ шулуунтай $P$ цэгт, $TC$ шулуунтай $Q$ цэгт огтлолцоно. $PAB$, $QAC$ гурвалжныг багтаасан тойргууд дахин $S$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $\angle{PAQ} = 2 \angle{BAC}$ бол
- $S$ цэг $BHC$ гурвалжныг багтаасан тойрог дээр оршино гэж батал.
- $\angle{PAH} = \angle{HAQ}$ эсвэл $\angle{PAB} = \angle{BAH}$ гэж батал.
5.
Бүгд $2$-оос хэтэрдэггүй $t_{1}$, $t_{2},\dots, t_{n} \le 2$ бодит тоонуудын хувьд
\begin{equation}
\dfrac{t_{1}^{3}}{t_{2}^{2}+4} + \dfrac{t_{2}^{3}}{t_{3}^{2}+4} + \dots + \dfrac{t_{n-1}^{3}}{t_{n}^{2}+4} + \dfrac{t_{n}^{3}}{t_{1}^{2}+4} \le n
\end{equation}
байна гэж батал.
\begin{equation}
\dfrac{t_{1}^{3}}{t_{2}^{2}+4} + \dfrac{t_{2}^{3}}{t_{3}^{2}+4} + \dots + \dfrac{t_{n-1}^{3}}{t_{n}^{2}+4} + \dfrac{t_{n}^{3}}{t_{1}^{2}+4} \le n
\end{equation}
байна гэж батал.
6.
Хоёр өөр цифрээр бичигдэх $10^{2025} + 3$ нийлбэрт хуваагддаг тоо хамгийн багадаа хэдэн оронтой байх вэ?