1. Гурвалжны $a$, $b$, $c$ талуудын эсрэг өнцгүүд тус тус $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ байв.

$a$, $b$, $c$ уртууд энэ дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэдэг бол $\cos \alpha$, $1 - \cos \beta$, $\cos \gamma$ утгууд энэ дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэнэ гэж батал.

2. $m^{2025}+n^{2024}=pmn$ байдаг бүх $m$, $n$ натурал тоонууд болон $p$ анхны тоон $(m, n, p)$ гурвалыг ол.

3. Нэгэн улс $n$ арлаас бүрддэг. Зарим арлууд хоорондоо гүүрээр холбогдох ба гүүрүүдийг холбон зам хийнэ. Аливаа хоёр арлын хувьд тэднийг холбосон зам олддог бол хамгийн цөөхөн гүүрээр дамждаг замын гүүрний тоог тэр хоёр арлын зай гэнэ. Арал бүр ядаж $m$ аралтай гүүрээр холбогддог бол арал хоорондын зай хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?

4. $\{1,2,\dots,n\}$ олонлогийн $x-y=1$ байх $x$, $y$ элементүүд агуулаагүй дэд олонлогийн тоог $A_n$ гээд, $x-y=2$ байх $x$, $y$ элементүүд агуулаагүй дэд олонлогийн тоог $B_n$ гэе. $A_{2025} < B_{1013}^2$ болохыг батал.

5. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны өндрүүд $AD$, $BE$, $CF$ байг. $BC$ диаметртэй $\omega$ тойрог $AD$-тэй $ABC$ дотор $K$ цэгт огтлолцдог гэе. $KD$ цацраг дээр $KA = KL$ байх $L$ цэг авъя. $BL$, $CL$, шулууны үргэлжлэл $\omega$-г харгалзан $P$, $Q$ -д огтолдог гэе. $AD$, $QE$, $PF$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэж батал.

6. Өгөгдсөн натурал $n\geq 3$ тооны хувьд $10^n - 7$ ялгаварт хуваагддаг зөвхөн $1, 2$ цифрүүдээр бичигдэх тоо хамгийн багадаа хэдэн оронтой байх вэ?