Бодлогууд

Ираны геометрийн 12-р олимпиад, 2025 он, F (11-12) ангилал

1. Бодлого 1

Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

$\angle AMX=\angle YMC$ гэж баталбал 3 оноо,

$\angle BNX=\angle YMC$ гэж харуулаад цааш баталгааг гүйцээвэл 5 оноо.

2. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

1-р бодолт

$\angle TBQ=\angle BDC$, $\angle TAP=\angle ACP$, гэж баталбал 4 оноо,

$TA=TB$-г ашиглан $T$-г радикал тэнхлэг дээр оршино гэж харуулбал 3 оноо.

2-р бодолт

$E$-г радикал тэнхлэг дээр оршино гэж харуулбал 1 оноо,

$F$-г радикал тэнхлэг дээр оршино гэж харуулбал 1 оноо,

$ABPQ$-г тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо,

$E, F, T$-г нэг шулуун дээр оршино гэж харуулбал 3 оноо.

3. Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

$EF\cap BC=K$ цэгийг авч үзвэл 1 оноо,

$KA'$ шулуун $(AA'X)$-г шүргэнэ гэж харуулбал 2 оноо,

$KX$ шулуун $(EFX)$-г шүргэнэ гэж харуулбал 2 оноо,

$KE\cdot KF=KP\cdot KM$ гэж харуулаад цааш баталгааг гүйцээвэл 3 оноо.

4.

$A$ цэгийн $BC$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэг $A'$, $A$ цэгийн $ST$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэг $X$-ийг авч үзээд $K\in (ANA')\cap(AXM)$ гэж харуулбал 2 оноо,

$A,P$ нь $BXC$ гурвалжны isogonal conjugates гэж харуулбал 4 оноо

$X\in (BRE)\cap (FQC)$ гэж харуулаад цааш баталгааг гүйцээвэл 2 оноо.

5.

$I$ цэгийн $\omega_1$-ийн хувьд авсан поляр шулуун $T$ цэгийг дайрна гэж харуулбал 3 оноо,

$\omega_1, \omega_2$ -ийн гадаад гомотет төв нь $ABC$ гурвалжны багтсан болон багтаасан тойргуудын радикал тэнхлэг дээр оршино гэж харуулбал 3 оноо,

Монгегийн теорем ашиглан гүйцээвэл 2 оноо.