ММО-62, II даваа I шат, E (9-10) ангилал
1.
$\overline{abc} > \overline{cba}$ байдаг тэгээр төгсөөгүй гурван оронтой тоо $\overline{abc}$ хэд байх вэ? Тоонд цифр давтагдаж болно.
2.
$3^{n} = m!+9$ байдаг бүх натурал тоон $(m, n)$ хосыг ол. Энд $m! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot m$.
3.
$x + y + z = 0$ байдаг $x$, $y$, $z$ тоонуудын хувьд
\begin{equation}
(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(z^{2}+x^{2}) \ge \dfrac{25}{2}x^{2}y^{2}z^{2}
\end{equation}
байна гэж батал.
\begin{equation}
(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(z^{2}+x^{2}) \ge \dfrac{25}{2}x^{2}y^{2}z^{2}
\end{equation}
байна гэж батал.
4.
$f(1) = 2$, $f(2) = 6$ байх рационал коэффициенттой $f(x) = ax^{2}+bx+c$ квадрат гурван гишүүнт цор ганц язгууртай байх боломжгүйг харуул. Энд $a \ne 0$.
5.
$ABC$ гурвалжинд $BE$, $CF$ өндрүүд татав. $A$ оройгоос татсан өндөр $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтолцдог байг. $AED$ гурвалжныг багтаасан тойрог, $BEC$ гурвалжныг багтаасан тойрогтой $E$ цэгээс ялгаатай $P$ цэгээр огтлолцдог бол $FP$ болон $BC$ шулуунууд перпендикуляр гэж батал.
6.
Хар өнгөөр будсан хоёр ширхэг нэгж квадратыг нэгж урттай хоёр хэрчмээр холбосон дүрсийг авч үзье. Квадрат хоорондын зайг хоосон гэж үзэх ба квадратууд хоорондоо нэгж зайтай байрлана (зурагт үзүүлэв).
$4\times n$ хүснэгтийг энэ дүрсийг ашиглан дүрс давхардуулахгүйгээр зүйж хучих боломжийн тоог ол. Энд квадратын ирмэгүүд болон хэрчмүүд давхцахыг зөвшөөрнө. Жишээлбэл $4 \times 1$ хүснэгтийг ийм дүрсээр зөвхөн $1$ янзаар давхардуулахгүйгээр зүйж хучиж болно.
$4\times n$ хүснэгтийг энэ дүрсийг ашиглан дүрс давхардуулахгүйгээр зүйж хучих боломжийн тоог ол. Энд квадратын ирмэгүүд болон хэрчмүүд давхцахыг зөвшөөрнө. Жишээлбэл $4 \times 1$ хүснэгтийг ийм дүрсээр зөвхөн $1$ янзаар давхардуулахгүйгээр зүйж хучиж болно.