ММО-62, II даваа I шат, F (11-12) ангилал
1.
$\overline{abcde} > \overline{edcba}$ байдаг тэгээр төгсөөгүй, таван оронтой тоо $\overline{abcde}$ хэд байх вэ? Тоонд цифр давтагдаж болно.
2.
$3(p^{2} -p) = q^{6} -q^{2}$ байдаг бүх $(p, q)$ анхны тоон хосыг ол.
3.
$xy+yz +zx = 0$ байдаг $x$, $y$, $z$ тоонуудын хувьд
\begin{equation}
(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(z^{2}+x^{2}) \ge \dfrac{25}{2}x^{2}y^{2}z^{2}
\end{equation}
байна гэж батал.
\begin{equation}
(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(z^{2}+x^{2}) \ge \dfrac{25}{2}x^{2}y^{2}z^{2}
\end{equation}
байна гэж батал.
4.
Дараах нөхцөлүүдийг зэрэг хангадаг бүх тэг биш бүхэл тоон $(m, n, k)$ гурвалыг ол.
\begin{equation}
\dfrac{121}{m^2} = \dfrac{12}{n} + \dfrac{1}{k}\quad\text{ба}\quad\dfrac{144}{n^2} = \dfrac{11}{m} + \dfrac{1}{k}
\end{equation}
\begin{equation}
\dfrac{121}{m^2} = \dfrac{12}{n} + \dfrac{1}{k}\quad\text{ба}\quad\dfrac{144}{n^2} = \dfrac{11}{m} + \dfrac{1}{k}
\end{equation}
5.
$AC>AB$ байх $ABC$ гурвалжны $BC$ талд перпендикуляр байх $l$ шулуун $BA$ цацрагийг $A$ цэгээс цааш $E$ цэгт, $AC$ хэрчмийг $F$ цэгт, $BC$ талыг $D$ цэгт огтолдог байг. Хэрэв $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог, $AEF$ гурвалжныг багтаасан тойрогтой огтлолцох хоёр дахь цэг нь $P$ бол $DP$ шулуун $l$ шулуунаас үл хамаарах тогтмол $Q$ цэгийг дайрна гэж батал.
6.
Хар өнгөөр будсан хоёр ширхэг нэгж квадратыг нэгж урттай хоёр хэрчмээр холбосон дүрсийг авч үзье. Квадрат хоорондын зайг хоосон гэж үзэх ба квадратууд хоорондоо нэгж зайтай байрлана (зурагт үзүүлэв).
$6\times n$ хүснэгтийг энэ дүрсийг ашиглан дүрс давхардуулахгүйгээр зүйж хучих боломжийн тоог ол. Энд квадратын ирмэгүүд болон хэрчмүүд давхцахыг зөвшөөрнө. Жишээлбэл $4 \times 1$ хүснэгтийг ийм дүрсээр зөвхөн $1$ янзаар давхардуулахгүйгээр зүйж хучиж болно.
$6\times n$ хүснэгтийг энэ дүрсийг ашиглан дүрс давхардуулахгүйгээр зүйж хучих боломжийн тоог ол. Энд квадратын ирмэгүүд болон хэрчмүүд давхцахыг зөвшөөрнө. Жишээлбэл $4 \times 1$ хүснэгтийг ийм дүрсээр зөвхөн $1$ янзаар давхардуулахгүйгээр зүйж хучиж болно.