1. $n\ge 1$ сондгой тоо гэе. Тэгээр төгсөөгүй, $n$ оронтой $\overline{a_{1}a_{2}\dots a_{n-1}a_{n}}$ тоог хөрвүүлэн бичихэд гарах $\overline{a_{n}a_{n-1} \dots a_{2}a_{1}}$ тоог авч үзье.

1. $\overline{a_{1}a_{2}\dots a_{n-1}a_{n}} = \overline{a_{n}a_{n-1} \dots a_{2}a_{1}}$ байдаг тэгээр төгсөөгүй, $n$ оронтой тоо хэд байх вэ?
   


2. $\overline{a_{1}a_{2}\dots a_{n-1}a_{n}} \ne \overline{a_{n}a_{n-1} \dots a_{2}a_{1}}$ байдаг тэгээр төгсөөгүй, $n$ оронтой тоо хэд байх вэ?
   


3. $\overline{a_{1}a_{2}\dots a_{n-1}a_{n}} > \overline{a_{n}a_{n-1} \dots a_{2}a_{1}}$ байдаг тэгээр төгсөөгүй, $n$ оронтой тоо хэд байх вэ?
   

2. Натурал $n$ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг $S(n)$ гэж тэмдэглэе.

$S(2^p) - S(2^{p+1}) = 1$ байх бүх $p$ анхны тоог ол.

3. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $A$ оройг агуулсан $BC$ нумын дундаж цэг $N$, $A$ оройг агуулаагүй $BC$ нумын дундаж цэг $M$ байг. $M$ цэгийг дайрсан $AM$ шулуунд перпендикуляр шулуун $BC$ шулуунтай $D$ цэгт огтлолцдог байв.

$AM$ шулуун $NB$, $NC$, $ND$ шулуунуудтай харгалзан $P$, $Q$, $R$ цэгүүдээр огтлолцдог бол $PR=RQ$ гэж батал.

4. $ABC$ зөв гурвалжин дотор $LMN$ жижиг зөв гурвалжныг $M$, $N$ цэгүүд энэ дарааллаараа $BC$ тал дээр оршихоор авав. $BM = 62$, $MN = AL$, $NC = 448$ байдаг бол $BC$ талын уртыг ол.

5. Бүгд нэгэн зэрэг тэг биш $a$, $b$, $c$ тоонуудын нийлбэр $0$ бол
\begin{equation}
2 \le \dfrac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \dfrac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} \le \dfrac{12}{5}
\end{equation}
байна гэж батал.

6. Хар өнгөөр будсан хоёр ширхэг нэгж квадратыг нэгж урттай хоёр хэрчмээр холбосон дүрсийг авч үзье. Квадрат хоорондын зайг хоосон гэж үзэх ба квадратууд хоорондоо нэгж зайтай байрлана (зурагт үзүүлэв).

$8\times n$ хүснэгтийг энэ дүрсийг ашиглан дүрс давхардуулахгүйгээр зүйж хучих боломжийн тоог $a_{n}$ гэе. Энд квадратын ирмэгүүд болон хэрчмүүд давхцахыг зөвшөөрнө. Жишээлбэл $4 \times 1$ хүснэгтийг ийм дүрсээр зөвхөн $1$ янзаар давхардуулахгүйгээр зүйж хучиж болно.
Хангалттай том $N$ натурал тооноос их $n$ натурал тоо бүрийн хувьд
\begin{equation}
\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{2n}< a_n < 3^{2n}
\end{equation}
байна гэж батал.