ММО-62, II даваа II шат, бүс, F (11-12) ангилал
1.
$n \ge 2$ натурал гэе. $\{1, 2, \dots, n\}$ олонлогийн ядаж хоёр гишүүнтэй дэд олонлогуудын багаасаа хоёрт жагсах гишүүдийн математик дундаж $4$-өөc бага гэж батал.
Жишээ:\quad $X$ олонлогийн багаасаа хоёрт жагсах гишүүнийг $fX$ гэж тэмдэглэе.
$n = 3$ үед $\{1, 2, 3\}$ олонлог ядаж хоёр гишүүнтэй дарвөн дэд олонлогтой ба харгалзан
\begin{equation}
f\{1, 2\} = 2,\quad f\{1, 3\} = 3,\quad f\{2, 3\} = 3,\quad f\{1, 2, 3\} = 2
\end{equation}
утга авах тул $f$-ийн математик дундаж $(2 + 3 + 3 + 2)/4 = 2.5 < 4$ байна.
Жишээ:\quad $X$ олонлогийн багаасаа хоёрт жагсах гишүүнийг $fX$ гэж тэмдэглэе.
$n = 3$ үед $\{1, 2, 3\}$ олонлог ядаж хоёр гишүүнтэй дарвөн дэд олонлогтой ба харгалзан
\begin{equation}
f\{1, 2\} = 2,\quad f\{1, 3\} = 3,\quad f\{2, 3\} = 3,\quad f\{1, 2, 3\} = 2
\end{equation}
утга авах тул $f$-ийн математик дундаж $(2 + 3 + 3 + 2)/4 = 2.5 < 4$ байна.
2.
$n! - n^{d}$ ялгавар анхны тооны натурал зэрэгт болох бүх натурал тоон $(n, d)$ хосыг ол.
3.
$AB < AC$ байх $ABC$ хурц өнцөгт гурвалжныг багтаасан тойрог $\omega$ ба $A$ оройгоос буулгасан өндрийн суурь $D$ байг. $AB$, $AC$ талын дундаж цэгүүд харгалзан $M$, $N$ ба ортотөв нь $H$, хүндийн төв нь $G$ байг. $MH$ болон $NH$ цацраг $\omega$ тойргийг харгалзан $P$, $Q$ цэгт огтолно. $MN$, $PQ$ шулуунууд $R$ цэгт огтлолцох ба $\omega$ тойрог дээр $A$ цэгээс ялгаатай $T$ цэгийг $RA=RT$ байхаар авав. $BMT$ гурвалжныг багтаасан тойрог, $CNT$ гурвалжныг багтаасан тойрогтой дахин $S$ цэгээр огтлолцох бол $DG$ шулуун $S$ цэгийг дайрна гэж батал.
4.
Элдэв талт $ABC$ гурвалжны $B$ оройн өндрийн суурь $E$, $C$ оройн өндрийн суурь $F$, орто төв $H$ байг. $BE$ шулуун дээр $M$ цэгийг $MA=MH$, $CF$ шулуун дээр $N$ цэгийг $NA=NH$ байхаар авав. $M$ цэг дээр төвтэй $MA$ радиустай тойрог $CF$ шулуунтай $H$ цэгээс ялгаатай $P$ цэгээр, $N$ цэг дээр төвтэй $NA$ радиустай тойрог $BE$ шулуунтай $H$ цэгээс ялгаатай $Q$ цэгээр огтлолцдог бол $H$ цэгийг $APQ$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв гэж батал.
5.
$a_{1} = 1$ ба $n \ge 1$ үед $a_{n+1} = \lfloor\sqrt{2 a_{n}(a_{n}+1)}\rfloor$ байдаг дараалал болон $b_{1} = 1$, $b_{2} = 2$, $b_{3} = 3$ ба $n \ge 3$ үед $b_{n+1} = b_{n} + b_{n-2}$ байдаг дарааллыг авч үзье. Дурын $n \ge 1$ хувьд $b_{n} \ge a_{n}$ байна гэж батал.
Энд $x$ тооноос хэтэрдэггүй хамгийн их бүхэл тоог $\lfloor x\rfloor$ гэж тэмдэглэв.
Энд $x$ тооноос хэтэрдэггүй хамгийн их бүхэл тоог $\lfloor x\rfloor$ гэж тэмдэглэв.
6.
$n \geq 1$ гэе. $N$ ширхэг нүдэнд нь 1, бусад нүдэнд нь 0 бичигдсэн $9n^2$ нүдтэй $3n\times 3n$ хүснэгт байв. Нүд бүр дэх тоон дээр хөрш нүднүүд дэх бүх тоог нэмсэн нийлбэр хоёроос багагүй байв. $N$ тооны боломжит хамгийн бага утгыг ол.
Энд ерөнхий цэгтэй хоёр нүдийг (хэвтээ тэнхлэг, босоо тэнхлэг, диагоналийн дагуу) хөрш гэж үзнэ. Жишээлбэл зүүн дээд булангийн нүд гурван хөрштэй байна.
Энд ерөнхий цэгтэй хоёр нүдийг (хэвтээ тэнхлэг, босоо тэнхлэг, диагоналийн дагуу) хөрш гэж үзнэ. Жишээлбэл зүүн дээд булангийн нүд гурван хөрштэй байна.