1. $n\ge 2$ үед $f(n-1)\cdot f(n+1)=f^2(n)-1$ ба $f(1987)=1987$ байх бүх $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ функцийг ол.

2. $4$ радиустай тойргийг багтаах $ABC$ гурвалжны $C$ оройгоос нөгөө хоёр оройн гадаад өнцгийн биссектрист буулгасан перпендикулярын сууриудын хоорондох зай $21$ ба
\[7\cdot\tg\dfrac{A}2\cdot\tg\dfrac{B}2=2\]
бол талуудыг ол.

3. Өгөгдсөн $N_{10}$ натурал тооны хувьд $N_{10}$, $N_{11}$, $N_{12},\dots$ сөрөг биш бүхэл тоон дарааллыг дараах дүрмээр байгуулъя. Үүнд

1. Хэрэв $N_k=0$ байвал байгуулах процессийг зогсооно;


2. Хэрэв $N_k>0$ байвал $N_k-1$ тоог \[N_k-1=a_m+a_{m-1}k+a_{m-2}k^2+\dots+a_0k^m\]
   Энд $a_i\in\{0,1,2,\dots,k-1\}\quad i=\overline{1,n}$ дүрсэн дээр бичээд $N_{k+1}$ тоог \[a_m+a_{m-1}(k+1)+a_{m-2}(k+1)^2+\dots+a_0(k+1)^m\] нийлбэртэй тэнцүү гэж тодорхойлъё. Бидний сонирхож байгаа дараалал ямагт төгсгөлөг гэж батал.
   

4. Дараах системийг бод:
\[
\begin{cases}
4x^2+3y^2=1\\
32x^3-6x+9y-36y^3=1
\end{cases}
\]

5. $n\ge32$ үед $2,3,\dots,n$ тоонуудыг дурын аргаар хоёр бүлэгт хуваахад $a\cdot b=c$ байх $a$, $b$, $c$ тоонууд ядаж нэг бүлгээс нь олдоно гэж батал ($a=b$ байж болно).

6. Хавтгай дээр $O$ цэгт төвтэй тойрог, энэ тойргийн гадна орших $S$ цэг хоёр өгөгджээ. $P$ нь өгөгдсөн тойрогт татсан $SP$ шүргэгчийн шүргэлтийн цэг; $Q$ нь $P$ цэгээс $OS$ хэрчим дээр буулгасан перпендикулярын суурь байг. $PQ$ хэрчим дээр дурын $T$ цэг аваад тойрог, $ST$ шулуун хоёрын огтлолцлын цэгүүдийг $A$, $B$ гэж тэмдэглэв. $\measuredangle AQT=\measuredangle TQB$ байхыг батал.