1. Дараах системийн бүх сөрөг биш, бүхэл шийдийг ол.
\[
\begin{cases}
x^3-y^3-z^3=3xyz\\
x^2=4(y+z)
\end{cases}
\]

2. Хавтгай дээр тойрог ба $A$ цэг өгөгджээ. $A$ цэгийг дайрсан огтлогчийн тойрогтой огтлолцсон цэгүүдэд татсан шүргэгчүүдийн огтлолцлын геометр байрыг ол.

3. Хавтгай дээр ерөнхий байршилтай $2n$ ($n\ge 4$) ширхэг цэг өгөгджээ. Аль ч цэг нь яг нэг хэрчмийн үзүүр байхаар эдгээр цэгийг $n$ ширхэг хэрчмээр, бүх хэрчмийг нэг шулуунаар огтолж а) болдог б) болдоггүй байхаар холбож болохыг тус тус батал.

4. $x_1=4$, $x_{n+1}=7x_n+4\sqrt{3x_n^2+1}$ $(n\ge 1)$ дарааллын гишүүн бүр тэгш натурал тоо байхыг батал.

5. $ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$ талууд дээр $\angle BCN=\dfrac13\angle BCA$, $\angle BAM=\dfrac13\angle BAC$ байхаар $N$ ба $M$ цэгийг сонгон авчээ. Хэрэв $CN=AM$ бол $ABC$ гурвалжин адил хажуут гэж батал.

6. $5^n$ ($n\ge 1$) радиустай тойрог дээр аль ч хоёрын нь хоорондох зай бүхэл байхаар $n+1$ ширхэг цэг сонгон авч болохыг батал.