1. $4x^2-14xy+y^2+261=0$ тэгшитгэл нь төгсгөлгүй олон натурал тоон шийдтэй гэж батал.

2. $n$-ийг $3$ натурал тооны нийлбэрт (эрэмбэ анхаарахгүй) задлах боломжит тоог $P_3(n)$ гэе.
\[P_3(6k+4)=3k^2+4k+1\]
гэж батал.

3. Хавтгайд ерөнхий байршилтай, тэдгээрийн аль ч хэд дээр нь оройтой гүдгэр олон өнцөгтийн талбай нь бүхэл тоо байдаг төгсгөлгүй олон цэг олдохыг батал.

4. Хавтгайн цэг бүрийг $2$ өнгөөр будав. Өгсөн гурвалжинтай төсөөтэй гурвалжны оройнууд болох нэг өнгийн гурван цэг олдохыг батал.

5. $2k-1$-талстад $k$-радиустай бөмбөрцөг багтаажээ /$\mathbb N\ni k\ge 2$/. Тэгвэл хоорондох зай нь $2k+1$-ээс их байх 2 цэг уг талст дээр олдоно гэж батал.

6. $f\colon\mathbb R\to(0,\infty)$, $x=0$ цэг дээр уламжлалтай, дурын $x$, $y\in\mathbb R$-ийн хувьд
\[f(x+y)=f(x)^{2^y}\cdot f(y)^{2^x}\]
байх бүх $f(x)$-функцүүдийг ол.