1. Аль ч гурав нь элдэв талт (гурван тал нь ялгаатай) гурвалжин үүсгэхээр $27$ хэрчим олдох уу? Хэрэв олдох бол тэдгээрээр ялгаатай 65 ширхэг хурц өнцөгт гурвалжин байгуулж болохыг батал.

2. $ABC$ гурвалжны хамгийн бага өнцгийн оройгоос уг гурвалжинд багтсан тойргийн төв ба өндрүүдийн огтлолцлын цэг хүртэлх зайнууд тэнцүү бол уг гурвалжныг адил талт гэж батал.

3. Тус бүр нь $1991$-ээс хэтрэхгүй $1811$ ширхэг ялгаатай натурал тоонууд өгөгдөв. Тэдгээрийн хамгийн багыг $m$ гэе. Тэгвэл ялгавар нь $10m$-тай тэнцүү байдаг хоёр тоо тэдний дотроос олдохыг батал.

4. $P(x)$ бодит коэффициенттэй олон гишүүнт нь арифметик прогресс үүсгэдэг дурын $a$, $b$, $c$, $d$-ийн хувьд
\[|P(a)-P(d)|\ge4\cdot|P(b)-P(c)|\]
байдаг бол $P(x)$-ийг ол.

5. $x^n+y^n=z^n$ $(n\ge3)$ тэгшитгэл $x$, $y$, $z$ нь арифметик прогресс үүсгэдэг натурал тоон шийдгүйг батал.

6. Хавтгайд үл огтлолцох бие биеийнхээ гадаад мужид орших 2 тойрог, тойрог тус бүр дээр нэг нэг цэг өгчээ. Өгсөн тойргуудыг өгсөн цэгүүдэд шүргэх бөгөөд өгсөн цэгүүдийг холбосон хэрчим дээр огтлолцох ижил радиустай 2 тойргийг байгуул.