1. $\triangle ABC$-ийн хавтгайн нэг талд орших $P_1,P_2,\ldots,P_n$ цэгүүд өгөгдөв. Эдгээр цэгүүдээс гурвалжны оройнууд хүртэлх зайн олонлог дор хаяж $\sqrt[3]{n}$ элементтэй гэж батал.

2. $\triangle ABC$-ийн $AB$, $BC$ талууд дээр $M$, $N$ цэгүүдийг $\dfrac{BC}{BN}-\dfrac{BA}{BM}=k\neq 0$ ($k$ - тогтмол тоо) байхаар авав.

1. [а)] Бүх $MN$ шулуунууд ерөнхий цэгтэй болохыг батал.
   \item[б)] Огтлолцлын цэг нь $\triangle ABC$-г багтаасан тойрог дээр орших нөхцөлийг тогтоогоод $k$-г гурвалжны талуудаар тодорхойл.
   

3. $n\in\mathbb N$ тоо өгөгджээ. Гишүүд нь $1,2,\ldots,n$ тоонуудын аль нэг нь байдаг дарааллыг, түүний дэс дараалсан хоёр гишүүдийн хосуудын дотор бүх боломжит $(i,j)$, $1\le i,j\le n$ хосууд байдаг бол универсал дараалал гэж нэрлэе. Хамгийн бага урттай универсал дарааллын гишүүдийн тоог ол.

4. Өгсөн тойргийг $A$ цэгт, түүний $BC$ хөвчийг $D$ цэгт шүргэсэн тойрог $AC$, $AB$ хөвчүүдийг харгалзан $C_1$, $B_1$ цэгт огтолдог бол $BD\cdot CC_1=CD\cdot BB_1$ болохыг батал.

5. Тоон шулуун дээр $k$ өнгөөр будагдсан $2k+1$ цэг өгөв. $A$, $B$, $C$ зэргэлдээ гурван цэгийн хувьд $A$-г $C$-д, $C$-г $A$-д шилжүүлж болдог бол ижил өнгөөр будагдсан байраа сольдог хоёр цэг олдохыг үзүүл.

6. $\mathbb Z$-ийг $1$-ээс их, харилцан анхны ялгаваруудтай төгсгөлөг тооны арифметик прог\-рес\-сийн нэгдэлд тавьж болох уу? ($\mathbb Z$-ээр бүхэл тоон олонлогийг, арифметик прогресс гэж $a+mk$, $k\in\mathbb Z$ тоонуудын олонлогийг ойлгоно).