1. Хавтгайн аль ч хоёрынх нь хоорондын зай бүхэл байх $n$ ялгаатай цэгийг $\sqrt{\dfrac{6n}{17}}-1$ радуистай тойрогт багтааж болохгүйг батал.

2. $\forall x,y\in\mathbb R$ тоонуудын хувьд
\[f(\sqrt{x^2+y^2})=1993^{x^2 y^2}f(x)f(y)\]
байх бүх $f\colon\mathbb R\to(0,\infty)$ тасралтгүй функцийг ол.

3. $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр орших $P$ цэгээс $AB$, $BC$ талд буулгасан перпенди\-кулярын суурийг харгалзан $N$, $L$-ээр, $BP$ шулуун
$ABC$ гурвалжинг багтаасан тойрог хоёрын огтлолцлыг $M$ гэе. $S_{LMNB}=S_{ABC}$ байх бүх $P$ цэгийг ол.

4. Хоорондоо нэгж зайтай $P$, $Q$ цэгүүд өгөгджээ. Огторгуйн аливаа $A_1,\ldots, A_n$ цэгүүдийн хувьд $S_p=\sum\limits_{i=1}^n PA_i$, $S_q=\sum\limits_{i=1}^n QA_i$ гэж тэмдэглэвэл
\[n+\dfrac{S_p^2-S_q^2}{n}\le2\max\{S_p,S_q\}\]
гэж батал.

5. $ABC$ гурвалжинтай төсөөтэй ямар нэгэн гурвалжинг оройнууд нь зангилааны цэгүүд дээр байхаар дөрвөлжин шугамтай цаасан дээр байрлуулж болдог байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $\dfrac{S}{a^2}$, $\dfrac{S}{b^2}$, $\dfrac{S}{c^2}$ рационал тоонууд байх явдал гэж батал. Энд нь $S$
нь $ABC$ гурвалжны талбай, $a$, $b$, $c$ нь талууд.

6. $AB$, $CD$ суурьтай $ABCD$ трапец ба $K$ цэг өгөгдөв. Хэрэв $AL\parallel CK$, $L\in BC$, $DL\parallel KM$, $M\in BC$ бол $S_{AKD}=S_{BMD}$ гэж батал.