1. $P(x)=x^{1994}+a_{1993}x^{1993}+\dots+a_1x+1$ олон гишүүнт өгөгдөв. Хоёр сурагч тоглоно. Үүнд 1-р сурагч $a_i$-үүдийн аль нэгийг өөр тоогоор солино. Дараа нь $2$-р сурагч үлдэх $a_i$-үүдийн аль нэгийг өөр тоогоор солино, г.м. бүх $a_i$-үүдийг дуустал үргэлжлүүлнэ. Эцэст үлдэх олон гишүүнт бодит язгуургүй бол 2-р сурагч, үгүй бол 1-р сурагч хожино. 2-р сурагч үргэлж хожих боломж бий юу?

2. $\forall x, y\in\mathbb R: f^2(x)-f^2(y)=f(x+y)f(x-y)$, байх үелэх тасралтгүй $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ функцийг ол.

3. Хүндийн төв нь $M$ ба $\cos A\cdot\cos B\cdot\cos C=-\dfrac12$ байх $ABC$ гурвалжны $AM$, $BM$, $CM$ хэрчмүүдийн дунджуудыг дайруулан харгалзан $BC$, $AC$, $AB$ талуудтай параллелаар татсан шулуунуудын огтлолцолд үүсэх гурвалжны Эйлерийн тойрог уг гурвалжныг багтаасан тойрогтой перпендикуляр болохыг батал.

4. Өөр хоорондоо нөхөрсөг 3 гүрнийг; эсвэл өөр хоорондоо ердийн харьцаатай 3 гүрнийг гурвын холбоо гэе. Гүрэн бүр нь 9-өөс ихгүй гүрэнтэй дайсагнах харьцаатай 150 гүрнээс 17500 гурвын холбоо сонгож болохыг батал.

5. Бүхэл координаттай дурын 1994 цэг хавтгайд авахад хүндийн төв нь бүхэл коорди\-наттай байх 19 цэг олдохыг батал.

6. $\triangle ABC$-ын $AB$, $BC$, $CA$ талууд дээр $C_t$, $A_t$, $B_t$ цэгүүдийг
\[\dfrac{AC_t}{C_tB}=\dfrac{BA_t}{A_tC}=\dfrac{CB_t}{B_tA}=t\]
байхаар авав. Тэгвэл $AA_t$, $BB_t$, $CC_t$ хэрчмүүдээр байгуулсан гурвалжнуудын дотоод өнцгийн котангенсүүдийн квадратуудын нийлбэр $t$-ээс хамаарахгүйг батал.