1. Доорхи хоёр чанарыг хангадаг $k$ ширхэг хүмүүсийн олонлог өгөгджээ. 1) Дурын $32$ хүн авахад бие биетэйгээ танил $2$ хүн олддог. 2) Ямар ч хүн танилтайгаа зэрэгцэн суусан байхаар $1996$ хүнийг дугуй ширээнд сонгон суулгаж болдог. Тэгвэл энэ $k$-ийн хамгийн бага утгыг ол.

2. \[\left\{\begin{array}{c}
f(x,f(y,z))+f(f(x,y),z)=2y\\
f(x,f(x,y))=y
\end{array}\right.\qquad \forall x,y\in\mathbb R\]
нөхцөлүүдийг хангах бүх $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ функцийг ол.

3. Зөв гурвалжны тал бүрийг а) $42$\,\, б) $6k$ тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, хуваалтын цэгүү\-дийг талуудтай параллел шулуунуудаар холбон а) $1764$\,\, б) $36k^2$ жижиг гурвалжинд хуваав. Тэгвэл энэ жижиг гурвалжнуудын оройнуудаас аль ч $2$ нь татсан нэг шулуун эсвэл нэг тал дээр оршдоггүй байхаар хамгийн ихдээ хэчнээн цэг сонгон авч болох вэ?

4. $f(x)$ бүхэл коэффициенттэй олон гишүүнт. Хэрвээ $f(1),f(2),\ldots$ тоонуудыг $100$ оронтой $m$ тоонд хуваахад зөвхөн $0$, $1$ үлдэгдлүүд өгдөг бол $m=3^n$, $n\in\mathbb N$ хэлбэрийн эсвэл $m$ нь $11$ ижил цифр агуулсан тоо болохыг батал.

5. Хурц өнцөгт гурвалжныг багтаасан тойрог дээр орших $M$ цэгээс уг тойргийн төвийг гурвалжны оройнуудтай холбосон шулуунуудад перпендикуляр шулуун татав. Тэдгээрийн сууриар оройнуудаа хийсэн гурвалжинд багтсан тойргийн төв нь $M$ цэгийн Симпсоны шулуун дээр оршихыг батал.

6. Төгсгөлгүй дөрвөлжин шугамтай цаасны мөр бүхний яг нэг нүдэнд нь тойрог багтжээ. Дор хаяж а) $3$ ширхэг б) $4$ ширхэг тойрог огтолсон шулуун ямагт олдох уу?