1. $1,3,9,\ldots,3^{10}$ нэгж жинтэй туухайнууд тус бүр хоёрыг болон 2 тавагтай жинлүүр ашиглан $10000$ нэгж жинтэй ачааг хэдэн янзаар жинлэж болох вэ?

2. Хоёр хүн хавтгайд цэг тэмдэглэж тоглохдоо эхний хүн $1997$ ширхэг улаан цэг, хоёр дахь хүн нэг ширхэг цэнхэр цэг тэмдэглэнэ. Квадратын оройнууд болох дөрвөн цэнхэр цэг тэмдэглэж чадсан хоёр дахь тоглогч хожих бол эхний тоглогч хожигдохгүй байх боломжтой юу?

3. Хавтгайд аль ч хоёр нь огтлолцоогүй гадаад байрлалтай 3 тойрог өгөгджээ. Уг тойргуудад татсан шүргэгчүүдийн урт тэнцүү байх цэгийг нэг талт шугам ба гортиг ашиглан байгуул.

4. Аль нэг гурав нь $1997$ нэгж хажуу талтай адил хажуут гурвалжны оройнууд болох бөгөөд аль ч хоёрынх нь хоорондын зай бүхэл байх 9 цэг хавтгайд олдох уу?

5. $A_1A_2A_3A_4$ тетраэдрт $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ бөмбөрцгүүд $\omega_i$ бөмбөрцөг $A_i$ оройд тулсан ба хоорондоо үл огтлолцох байдлаар багтсан ба $\omega$ бөмбөрцөг $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ бөмбөрцгүүдтэй гадаад байдлаар харгалзан $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ цэгүүдэд шүргэдэг бол $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцохыг батал.

6. $1,2,3,4,5$ гэсэн тоонууд дээр ижил $5$ гэсэн утга авдаг, бүхэл коэффициенттэй олон гишүүнтүүдийн үржвэрт үл задрах бүхэл коэффициенттэй олон гишүүнт төгсгөлгүй олон гэж батал.