1. $n\in\mathbb N$ бүрийн хувьд $k\cdot 2^s+1$, $s=\overline{1,n}$ тоонууд бүгд зохиомол тоо байхаар $k$ тоо олдохыг батал.

2. $a$ шулууны $YBC$ өнцгийн талууд болон түүнийг $n$ тэнцүү хэсэгт хуваасан цацра\-гуудтай огтлолцсон цэгүүдийг $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ гэвэл
\[\dfrac{\dfrac{1}{BA_1}+\dfrac{1}{BA_{n+1}}}{\dfrac{1}{BA_1}+\dfrac{1}{BA_2}+\dots+\dfrac{1}{BA_{n+1}}}\]
харьцаа $a$ шулуунаас хамаарахгүй тогтмол байдгийг баталж, тогтмол утгыг $\measuredangle YBC=\varphi$ өнцөг болон $n$-ээр илэрхийл.

3. Хоёр хүн дараах байдлаар тогложээ. Эхний хүн $a_1$ натурал тоо бичнэ. Дараагийн хүн $a_2$ тоог өмнө бичсэн тооноос ялгаатайгаар сонгоно. Гэх мэтчилэн тоон дараалал үүсгэхдээ $a_n < 1999n$ хуулийг сахина. Хэрэв өөртөө агуулсан тоог бичсэн тоглогч хожигдох бол энэ тоглоом төгсгөлгүй үргэлжлэх боломжтой юу? (Хэн нэг тоглогч өмнө нь $a$ тоог бичсэн бол дараагийн удаад $a$-г агуулсан тоог бичсэн тоглогч хожигдоно. Жишээ нь $212$ нь $21$-ийг агуулсан тоо юм.)

4. $p$ нь анхны тоо бол дурын натурал $n$-ийн хувьд $n\mid \varphi(p^n-1)$ гэж батал.

5. $|X|=n$, $X\supseteq A_i$, $|A_i|=3$ ($i=\overline{1,m}$), $|A_i\cap A_j|\leqslant 1$ ($i\neq j$) бол аль ч $A_i$ дэд олонлогийг агуулахгүй бөгөөд $|A|\geqslant [\sqrt{2n}]$ байх $A\subseteq X$ дэд олонлог олдоно гэж батал.

6. $\triangle ABC$-ийн $AC$ тал дээр $M$ цэг авъя. $BM$-ээр диаметр хийсэн тойрог $AB$, $BC$ шулууныг $P$, $Q$ цэгт огтолдог. $P$, $Q$ цэг дээр татсан шүргэгчүүдийн огтлолцлын цэгийн геометр байрыг ол.