1. $x_1,x_2,\dots , x_{2001}$ эерэг дарааллын хувьд

1. [a)] $3{x^2}_{n+1}=7x_n\cdot x_{n+1}-3x_{n+1}-2x^2 _n +x_n$
   \item[b)] $x_{37}=x_{2001}$
   

бол $x_1$-ын авч болох хамгийн их утгыг ол.

2. $ABC$ хурц өнцөгт гурвалжны хувьд
\[\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\ge \dfrac{m_a}{a}\cdot \dfrac{m_b}{b}\cdot \dfrac{m_c}{c}\cdot 16R^2\cdot r\] болохыг батал.

3. $a>b$, $a$-тэгш ба $a,$ $b$ харилцан анхны натурал тоонууд бол $m\mid a^{n-1}-b^{n-1}$ ба $n\mid a^{m+1}-b^{m+1}$ байх харилцан анхны $m$ ба $n$ натурал тоонууд төгсгөлгүй олон олдохыг батал.

4. Тоон цулуун дээр $n$ цэг өгөгдөв. Аль ч дараалсан хэсэг цэгүүдийн хэсэг доторх хөх, улаан цэгийн тооны зөрүү нь 2-оос хэтрэхгүй байхаар цэгүүдийг хөх, улаан өнгөөр будах боломжийн тоог ол.

5. Эсрэг талууд нь параллель зургаан өнцөгтийн талуудын дундаж цэгүүд нь $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ бол $AB\cap ED$, $BC\cap EF$, $AC\cap FD$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршихыг батал.

6. $10\times 10$ хэмжээтэй хүснэгтийн нүднүүдэд, нүд бүр тэгш тооны тэмдэглэсэн нүдтэй хөрш байхаар хамгийн олондоо хэдэн нүд тэмдэглэж болох вэ? (Ерөнхий талтай нүднүү\-дийг хөрш гэж үзнэ.)