1. $n$ ба $k$ ($n\ge k$) нь өгөгдсөн натурал тоонууд. $A_1,A_2,\ldots,A_n$ нь $A$-ын дэд олонлогууд ба эдгээрийн дурын $k$-ийнх нь нэгдэл $A$ ба $k-1$-ийнх нь $A$-аас ялгаатай бол $\min|A|$-г ол.

2. $p$ өгөгдсөн анхны тоо. Анх координатын хавтгайн $(0,0)$ цэг дээр байсан даам өөрийн байрлаж байгаа цэгээс $p$ зайд орших бүхэл координаттай цэг рүү шилжих үйлд\-лийг хийх замаар $(2002,38)$ цэгт очиж чаддаг $p$-ийн боломжит бүх утгыг ол.

3. $AB\neq BC$ байх $ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $AB$ ба $BC$ талуудыг харгалзан $M$ ба $N$ цэгээр шүргэв. $MC$ ба $AN$ хэрчмүүд багтсан тойргийг $S$ ба $Q$ цэгээр огтлох бол $MN$, $SQ$, $AC$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцохыг батал.

4. Үржвэр нь яг $13$ ялгаатай анхны тоон хуваагчтай байх ялгаатай $131$ натурал тоо өгөгджээ. Тэдгээрээс үржвэр нь бүтэн квадрат байх $4$ тоог сонгон авч болно гэж батал.

5. $a_0,a_1,a_2,\ldots$ гэсэн эерэг тоонуудын төгсгөлгүй дараалал өгөгдөв. $1+a_n\ge\sqrt[n]{2}a_{n-1}$ байх $n$ дугаар төгсгөлгүй олон олдохыг батал.

6. $ABC$ гурвалжны $BC$, $CA$, $AB$ талын дунджууд нь харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$. $C_1A_1$ хэрчим дээр $\dfrac{C_1K}{KA_1}=\dfrac{BC+AC}{AC+AB}$ байх $K$ цэгийг, $A_1B_1$ хэрчим дээр $\dfrac{A_1L}{LB_1}=\dfrac{AC+AB}{BC+AB}$ байх $L$ цэгийг тус тус авав. $BK\cap CL=S$ бол $\measuredangle C_1A_1S=\measuredangle B_1A_1S$ болохыг батал.