1. Тэмцээнд $n$ $(n\ge10)$ баг оролцож тойргоор тоглов. Тэмцээний дараа нэг ч тэнцээ гараагүй ба тэнцүү оноотой 4 баг байсан бол бие биеэ тойрч хожсон гурвалын хос дор хаяад 2 олдохыг батал.

2. $\forall k\in\mathbb N$ хувьд $a_{k+1}>a_k$ байх ба $a_ka_{k+1}+1$ ба $a_k+1$ нь бүтэн квадрат байх натурал тоон төгсгөлгүй дараалал олдохыг батал.

3. $ABC$ гурвалжны ортотөв нь $H$ ба багтаасан тойргийн төв нь $O$ болог. $CO$ шулуун дээр орших дурын
$E$ цэгийн хувьд $AH\cap BE=M$, $BH\cap AE=N$ бол $\measuredangle ACN=\measuredangle BCM$ гэж батал.

4. $\omega$ ба $\omega_1$ тойргууд нь $D$ цэгт шүргэлцэнэ. $AC$ ба $AB$ талууд $\omega_1$ тойргийг шүргэнэ.
$\measuredangle CDB$ өнцгийн биссектрисийг агуулсан шулуун $ABC$ гурвалжины ($CB$ талыг шүргэсэн) гадаад багтсан тойргийн төвийг дайрна гэж батал.
\[\includegraphics[width=0.2\textwidth]{39-4-0.png}\]

5. $n$, $b$ нь өгөгдсөн натурал тоонууд, $\dfrac{a^n-b^n}{a-b}$ тоо нь ямар нэг тооны 1-ээс их зэрэг болдоггүй байхаар $(a,b)=1$ байх $a$ тоо төгсгөлгүй олон олдохыг батал.

6. Нэг компани $2n+1$ ажилтантай бөгөөд тэдгээрийн зарим нь хоорондоо танил байв ($A$ нь $B$-г таньдаг бол $B$ нь $A$-г танина). Аль ч $n$ ажилтанг сонгон авахад үлдэх ажилтнууд дотор тэдгээр ажилтнуудыг бүгдийг тань\-даг ажилтан заавал олддог бол компанид бүх ажилтанг тань\-даг ажилтан бий гэж батал.