1. Хавтгай дээр 2005 шир\-хэг хар, 2005 ширхэг цагаан тойрог өгөгдөв. Дурын хар тойрог нь ядаж 1003 цагаан тойрогтой огтлолцдог, дурын цагаан тойрог нь ядаж 1003 хар тойрогтой огтлолцдог бол 1 хар, 2005 ширхэг цагаан тойрогтой огтлолцох шулуун татаж болохыг батал.

2. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BC$ талаар диаметрээ хийсэн $\omega$ тойргийг гадаад байдлаар шүргэх, мөн $AB,~AC$ талуудыг шүргэх тойрог $\omega$ тойрогтой $A_1$ цэгт шүр\-гэлцэнэ. Үүний адилаар $B_1$, $C_1$ цэ\-гүү\-дийг тодорхойлбол $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ шулуунууд 1 цэгт огтлолцохыг батал.

3. $a\ge b\ge c>0$, $a+c\ge 2b$ бол
\[4(a^4+b^4+c^4)+6abc(a+b+c)\ge 5(a^3b+a^3c+b^3a+b^3c+c^3a+c^3b)\] гэж батал.

4. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $AH_1$, $BH_2$ өндрүүд, $AL_1$ ба $BL_2$ биссектрисүүд татав. $O$ нь багтаасан тойргийн төв, $I$ нь багтсан тойргийн төв бол $O\in L_1L_2$ байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $I\in H_1H_2$ гэж батал.

5. $12\times12$ хэмжээтэй хөлөг дээр бэрс бүр яг 3 бэрс иддэг байхаар хамгийн олондоо хэчнээн бэрс байрлуулж болох вэ?

6. Ялгаатай натурал $m_1, m_2,\dots, m_k$ тоо\-нуу\-дын нийлбэр $\dfrac{n(n+1)}{2}$ бол $\{1,2,\dots,n\}$ олонлогийг $A_i~(1\le i\le k)$ олонлогийн тоонуудын нийлбэр $m_i$-тэй тэнцүү бай\-хаар хоорондоо үл огтлолцох $A_1,A_2,\dots,A_k$ олонлогуудад ямагт хувааж болох уу?