1. Нийлбэр нь $N$ байх $a,~b,~c,~d,~e,~f$ натурал тоонуудын хувьд $ab+ac+bc=de+df+ef$ биелж байв. Хэрэв $N\mid abc+def$ бол $N$-г зохиомол гэж батал.

2. $m$, $n$ натурал тоонууд $n\times n$ хүснэгтийг сөрөг биш бүхэл тоонуудаар, аль ч 2 нь нэг мөр, нэг баганад үл орших $n$ ширхэг тооны нийлбэр ямагт $m$ гардаг байхаар хэчнээн ялгаатай аргаар бөглөж болох вэ?

3. $\omega_0$ тойрог $\omega$ тойрог дотор оршино. $\omega_j,~j=\overline{1,4}$ тойргууд тус бүр нь $\omega_0,~\omega$ тойргуудыг шүргэнэ. $\omega_j,~\omega_i$-ийн гадаад шүргэгчүүдийн огтлолцлын цэгүүд $(1\le i,j\le 4)$ бүгд нэг шулуун дээр оршино гэж батал. ($\omega_0$ ба $\omega$ нь нэг төвтэй биш).

4. $p$, $q$ нь ялгаатай анхны тоонууд ба $a$, $b$ нь ялгаатай натурал тоонууд бол $s\mid a^{pq}-b^{pq}$ ба $s\equiv 1\pmod{pq}$ байх $s$-анхны тоо олдохыг батал.

5. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BC$, $AC$, $AB$ талуудыг харгалзан $P$, $Q$, $R$ цэгүүдэд шүргэнэ. $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ өндрүүдийн дундаж цэгүүд харгалзан $P_0$, $Q_0$, $R_0$ бол $PP_0$, $QQ_0$, $RR_0$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэж батал.

6. $a$, $b$, $c$ нь $a+b+c=1$ байх эерэг тоонууд бол
\[(1+a)\sqrt{\frac{1-a}{a}}+(1+b)\sqrt{\frac{1-b}{b}}+(1+c)\sqrt{\frac{1-c}{c}}\ge\frac{3\sqrt3}{4}\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}}\] гэж батал.