1. $ABC$ гурвалжны $BC$ талын дундаж цэг $M.$ $A$ оройн гадаад өнцгийн биссектрис $BC$-г $D$ цэгт огтолдог байг. $\triangle ADM$-г багтаасан тойрог $AB,~AC$ шулуунуудыг харгалзан $E$ ба $F$ цэгт огтолдог байг. Хэрэв $N$ нь $EF$-ийн дундаж бол $MN\parallel AD$ гэж батал.

2. $n\ge 2$ натурал тооны хувьд $n$-ээс бага түүнтэй харилцан анхны тоонуудын үржвэрийг $a_n$ гэе.

1. [а)] $n\mid a_n+1\Longleftrightarrow n=2$, $4$, $p^\alpha$, $2p^\alpha$ гэж батал.
   \item[б)] $n\mid a_n-1\Longleftrightarrow n\not=2$, $4$, $p^\alpha$, $2p^\alpha$ гэж батал.
   

(Энд $p$-сондгой анхны тоо ба $\alpha\in\mathbb N$).

3. Хавтгайд $ABC$ гурвалжин ба түүний гадна орших $P$ цэг өгөгдөв. Хэрэв $P$ цэгийг $AB$, $AC$, $BC$ шулуунуудын хувьд тэгш хэмтэй цэгт шилжүүлж болох бол уг үйлдлүүдийн тусламжтайгаар $ABC$ гурвалжин дотор (хүрээн дээр байж болно) оруулж чадахыг батал.

4. $a,~b,~c\in\mathbb R;~a,~b,~c>0$ бол
\[\frac ab+\frac bc+\frac ca\ge3\cdot\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}}\]
гэж батал.

5. $n\times n$ хүснэгтийг аль ч мөр, аль ч багана дахь тоонуудын нийлбэр хоорондоо тэнцүү байхаар сөрөг биш тоонуудаар бөглөв. Аль ч 2 нь нэг мөр, нэг баганад үл орших $n$ ширхэг тоог аваад бүгдээс нь нэгэн ижил тоог сөрөг тоо гарахгүй байхаар хасах үйлдэл зөвшөөрөгдөв. Энэ үйлдлийн тусламжтайгаар хүснэгтийн бүх тоог $0$ болгож болох уу?

6. Нэгэн зэрэг тойрогт багтсан ба тойрог багтаасан $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв (аль ч диагональ ба тал нь багтаасан тойргийн диаметр биш). $A$ ба $C$ оройнуудын гадаад өнцгийн биссектрисүүд $P$ цэгт, $B$ ба $D$ оройнуудын гадаад өнцгийн биссектрисүүд $Q$ цэгт огтлолцоно. $J,~O$ нь багтсан ба багтаасан тойргийн төвүүд бол $OJ\perp PQ$ гэж батал.