1. $ABCDEF$ гүдгэр $6$ өнцөгтийн $AB=DE$, $BC=EF$, $AF=CD$ байг. Хэрэв $AC$, $BD$, $CE$, $DF$, $EA$, $FB$-ийн дундаж цэгүүд нь харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$, $F_1$ бол $A_1D_1$, $B_1E_1$, $C_1F_1$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцохыг батал.

2. $a$, $b$, $c$, $d$ нь $ac=bd$ ба $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=4$ байх ялгаатай бодит тоонууд бол
\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{b}-\dfrac{abcd}{(ab+cd)^2}\]
илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.

3. Координатын хавтгайд оройнууд нь бүхэл координаттай тойрогт багтсан гүдгэр $n$ өнцөгт өгөгдөв. Энэ олон өнцөгттэй төсөөтэй бөгөөд оройнууд нь мөн адил бүхэл координаттай байх хамгийн бага талбайтай гүдгэр $n$ өнцөгтийг багтаасан тойргийн төвийн координат бүхэл биш гэж батал.

4. Хавтгайд $ABCD$ параллелограмм ба $M_0$ цэг өгөгдөв. Эргүүлэлт ашиглан
\begin{equation}
R_{A}^{90^\circ}(M_0)=M_1,\quad R_{B}^{90^\circ}(M_1)=M_2,\quad R_{C}^{90^\circ}(M_2)=M_3,\quad R_{D}^{90^\circ}(M_3)=M_4,\ldots
\end{equation}
гэх мэт $\{M_1,M_2,\ldots\}$ цэгүүдийн дараалал тодорхойлъё. $M_0=M_{2008}$ бол $ABCD$ квадрат гэж батал.

5. $n\in\mathbb N$, $n\ge2$ бол
\[\dfrac{1}{\cos^2\frac{\pi}{2n}}+\dfrac{1}{\cos^2\frac{2\pi}{2n}}+\dots+\dfrac{1}{\cos^2\frac{(n-1)\pi}{2n}}=\dfrac{2}{3}(n^2-1)\]
гэж батал.

6. $p\mid 2^{q-1}-1$, $q\mid 2^{p-1}-1$ байх төгсгөлгүй олон ялгаатай анхны тоонууд олдоно гэж батал.