1. Зөв $2011$ өнцөгтийн оройнуудыг аль нэг оройгоос нь эхлэн цагийн зүүний дагуу $1,2,\dots,2011$ тоонуудаар дугаарлав. Хэрэв цагийн зүүний дагуу $a$, $b$, $c$ гэж уншигдах (дараалсан байх албагүй) $3$ тоог харгалзан $c$, $a-\frac{1}{2009}$, $b+\frac{1}{2009}$ тоонуудаар сольж болох бол энэ үйлдлийн тусламжтайгаар уг олон өнцөгтийн оройнуудыг цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $1,2,\dots,2011$ тоонуудаар дугаарлаж болох уу?

2. $n$ нь $6$-тай харилцан анхны натурал тоо ба $a_1$, $a_2\dots,a_n$; $b_1$, $b_2,\dots,b_n$ нь $a_1< a_2<\dots< a_n$; $b_1< b_2<\dots< b_n$ байх натурал тоонууд байг. Хэрэв дурын $t$ натурал тооны хувьд $a_i+a_j+a_k=t$, $(i< j< k)$ байх гурвалын тоо нь $b_i+b_j+b_k=t$, $(i< j< k)$ байх гурвалын тоотой тэнцүү бол $a_1=b_1$, $a_2=b_2, \dots, a_n=b_n$ гэж батал.

3. $\omega$ тойрог өгөгдөв. Уг тойргийг дотоод байдлаар шүргэсэн бөгөөд аль ч зэргэлдээ $2$ тойргууд нь хоорондоо шүргэлцсэн $6$ тойрог өгөгдөв. Эдгээр 6 тойргийн $\omega$-тэй шүргэлц\-сэн цэгүүдийг $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ гэе. Тэгвэл $ABCDEF$ $6$ өнцөгтийн $AD$, $BE$, $CF$ гол диагоналууд $1$ цэгт огтлолцохыг батал.

4. $x+y+z=1$ байх $x$, $y$, $z$ эерэг бодит тоонуудын хувьд
\[\dfrac{\sqrt{xyz}}{x^2+y^2+z^2-x^3-y^3-z^3}\le\sqrt{\dfrac{xy}{(1-z)^2}+\dfrac{yz}{(1-x)^2}+\dfrac{zx}{(1-y)^2}}\]
тэнцэтгэл бишийг батал.

5. $ABC$ гурвалжны $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ биссектриссүүд татав. $AA_1\cap B_1C_1=X$ ба $X$-ээс $BC$-д буулгасан перпендикулярын суурийг $Y$ гэе. $\measuredangle BC_1Y$ ба $\measuredangle CB_1Y$-үүдийн биссектриссүүдийн огтлолцлын цэгийг $Z$ гэе. Тэгвэл $A$, $Y$, $Z$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

6. Дурын $k\in\mathbb N$ тооны хувьд $\dfrac{2^{n^2}+1}{n^3}$ нь бүхэл байдаг яг $k$ ширхэг анхны тоон хуваагчтай $n$-тоо олдохыг батал.