ММО-46, F (11-12) ангилал
1.
$\gamma_1$, $\gamma_2$ тойргууд $S$ цэгт гадаад гадаад байдлаар шүргэлцдэг. $\omega$ тойрог $\gamma_1$ ба $\gamma_2$ тойргуудыг харгалзан $P$ ба $Q$ цэгт шүргэдэг байг. $\omega$ тойрог ба $\gamma_1$, $\gamma_2$ тойргуудын $S$ цэгийг дайрсан ерөнхий шүргэгчийн аль нэг огтлолцлын цэгийг $R$ гэж тэмдэглэе. Түүнчлэн $RP$ ба $RQ$ шулуунууд $\gamma_1$ ба $\gamma_2$ тойргуудыг харгалзан $A$ ба $B$ цэгт, $PQ$ шулуун $\gamma_1$ ба $\gamma_2$ тойргуудыг харгалзан $C$ ба $D$ цэгт тус, тус огтолдог гэе. $RS$, $AC$, $BD$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэж батал.
2.
$a,b,c,d>0$ байг.
\[\sqrt{\left(a+\sqrt{\dfrac{bcd}{a}}\right)\left(b+\sqrt{\dfrac{acd}{b}}\right)\left(c+\sqrt{\dfrac{abd}{c}}\right)\left(d+\sqrt{\dfrac{abc}{d}}\right)}+{}\]
\[{}+2\sqrt{abcd}\geqslant ab+bc+cd+da+ac+bd\]
тэнцэтгэл бишийг батал.
\[\sqrt{\left(a+\sqrt{\dfrac{bcd}{a}}\right)\left(b+\sqrt{\dfrac{acd}{b}}\right)\left(c+\sqrt{\dfrac{abd}{c}}\right)\left(d+\sqrt{\dfrac{abc}{d}}\right)}+{}\]
\[{}+2\sqrt{abcd}\geqslant ab+bc+cd+da+ac+bd\]
тэнцэтгэл бишийг батал.
3.
$a^n$, $n>1$, $a, n\in\mathbb N$ хэлбэрээр бичигддэг натурал тоог зэрэг гэж нэрлэе.
Жич: Аль ч хэдийн нийлбэр гэдэг нь ядаж нэг элементтэй дэд олонлогийн элементүүдийн нийлбэр юм.
- [а)] Аль ч хэдийнх нь нийлбэр зэрэг болдоггүй $2010$ ширхэг натурал тоо оршин байна гэж харуул.
\item[б)] Аль ч хэдийнх нь нийлбэр зэрэг болдог $2010$ ширхэг натурал тоо оршин байна гэж харуул.
Жич: Аль ч хэдийн нийлбэр гэдэг нь ядаж нэг элементтэй дэд олонлогийн элементүүдийн нийлбэр юм.
4.
$P(x)$ нь $\mathbb Z[x]$ дээр үл задрах, унитар олон гишүүнт (ахлах гишүүний коэффициент нь $1$). $|P(0)|=2010$ бол $Q(x)=P(x^{2^{2010}})$ байх $Q(x)$ олон гишүүнт үл задрах гэж батал.
5.
$A$ олонлогийн элементүүдийн нийлбэрийг $d(A)$ гэе. (Хэрэв $A=\varnothing$ бол $|A|=d(A)=0$ гэж авна.) $S=\{1,2,\ldots,2013\}$ байг. $r=1,2,3,\ldots,6$-ийн хувьд
\[T_r=\{T\mid T\subseteq S,\ d(T)\equiv r\pmod{7}\}\]
гэж тодорхойлъё. Тэгвэл $r$ бүрийн хувьд $T_r$ дахь элементүүдийн тоог ол.
\[T_r=\{T\mid T\subseteq S,\ d(T)\equiv r\pmod{7}\}\]
гэж тодорхойлъё. Тэгвэл $r$ бүрийн хувьд $T_r$ дахь элементүүдийн тоог ол.
6.
Тойрог багтаасан $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AB$ талд харгалзах гадаад багтсан тойргийг ($AD$, $BC$, $AB$ шулуунуудыг шүргэх) $\omega$ гээд $A$ ба $B$ цэгийг дайрсан $\omega$-г шүргэх ($\omega$-г дотроо агуулсан) тойргийн $\omega$-тай шүргэлцэх цэгийг $X_{AB}$ гэе. Яг адилаар $X_{BC}$, $X_{CD}$, $X_{DA}$ (харгалзан $BC$, $CD$, $DA$ талуудад харгалзах) цэгүүдийг байгуулбал $\measuredangle AX_{AB}B$, $\measuredangle BX_{BC}C$, $\measuredangle CX_{CD}D$, $\measuredangle DX_{DA}A$ өнцгүүдийн биссектриссүүд нэг цэгт огт\-лолцоно гэж батал.