1. Нэгэн зэрэг тойрогт багтсан ба тойрог багтаасан $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. Багтсан тойргийн төвийг $I$, $ABI$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $X$, $BCI$ гурвалжныг багтсан тойргийн төв $R$, $CDI$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $Z$, $DAI$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $T$ байг. $XZ\perp RT$ болохыг батал.

2. $(2n+1)\times (2n+1)$ хүснэгтийн $2n^2+2n$ ширхэг нүдийг улаан өнгөөр буджээ. Тэрэг хөндлөн, эсвэл босоо чиглэлд зөвхөн хөрш нүд рүүгээ нүүж болох бол будалтаас үл хамааран бүх улаан нүдэнд очиж чадахын тулд уг тэрэг хамгийн цөөндөө хэдэн нүүдэл хийх вэ? Тэрэгний анхны байрлалыг сонгож болох ба анх байрлуулсан нүдэнд очсон гэж үзнэ.

3. $a_1,a_2,\dots,a_n$ тоонууд эерэг рационал тоонууд ба аливаа $m\in\mathbb N$-ийн хувьд $a_1^m+a_2^m+\dots+a_n^m\in\mathbb N$ бол $a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb N$ гэж батал.

4. Аливаа $x$, $y$ бодит тоонуудын хувьд
\[f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y\]
биелдэг байх бүх $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ функцийг ол.

5. $a_1,a_1a_2,\dots,a_1a_2\cdots a_n$ тоонуудыг $n$-д хуваахад гарах үлдэгдлүүд бүгд ялгаатай байхаар $\{0,1,\dots,n-1\}$ тоонуудын ямар нэг $(a_1,\ldots,a_n)$ сэлгэмэл оршин байдаг $n\in\mathbb N$-ийн утгуудыг ол.

6. Шулуун $ABC$ гурвалжны $AB$ талыг $M$ цэг, $AC$ талыг $N$ цэгт, $BC$ шулууныг $P$ цэгт огтолно. $NM$ хэрчмийн дундаж цэг $X$, $MB$ хэрчмийн дундаж цэг $Y$, $BC$ хэрчмийн дундаж цэг $Z$, $CN$ хэрчмийн дундаж цэг $T$ байг. $AMN$, $AYT$, $PBM$, $PXZ$ гурвалжнуудын ортоцентрүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.