1. $f\colon\{0,1,2,\dots\}\times\{0,1,2,\ldots\}\to\mathbb{R}$ ба
\[\forall p\in \{0,1,2,\ldots\}\colon f(p,0)=f(0,p)=0,\]
$\forall p,q\in\{0,1,2,\ldots\}$ ба $pq\neq0$ бол
\[f(p,q)=\dfrac{1}{2}\left\{f(p+1,q-1)+f(p-1,q+1)\right\}+1\]
байх бүх $f(p,q)$ функцүүдийг ол.

2. $ABCD$ нь $\angle DAC=\angle DCA=\angle ABC$ байх гүдгэр дөрвөн өнцөгт байг. $D$ оройг дайруулан $AC$-тэй параллелаар татсан шулуун $BA$ ба $BC$ шулуунуудтай харгалзан $E$ ба $F$ цэгт огтлолцдог байг. $CE\cap AF=U$ бол $U$ цэгийн $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талууд дээрх проекцуудаар үүсэх дөрвөн өнцөгт нь адил хажуут трапец гэж батал.

3. $\{1,2,\ldots,2012\}$ олонлогийн аливаа ялгаатай $k$ элементүүдээс $a_1+a_2+a_3+a_4=a_5$ байх ялгаатай 5 тоог үргэлж сонгож болох $k$ тооны хамгийн бага утгыг ол.

4. Ямар нэг натурал тоо $k$-ийн хувьд \[3^{2^{2^k-1}}\equiv -1\pmod{2^{2^k}+1}\]
бол $n=2^{2^k}+1$ нь анхны тоо гэж батал.

5. Бүгд хоорондоо тэнцүү биш эерэг $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ тоонуудын хувьд \[(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\cdot\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq9+\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\] тэнцэтгэл биш биелдэг бол $x+y\geq\dfrac{\sqrt{30+4\sqrt{2}}-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}\cdot z$ тэнцэтгэл биш биелнэ гэж батал.

6. Дурын натурал $n$ бүрийн хувьд $\{2,3,4,\ldots,3n+1\}$ олонлогийг элементүүд нь ямар нэг мохоо өнцөгт гурвалжны талуудын урт болдог байхаар тус бүр нь 3 элементтэй үл огтлолцох $n$ дэд олонлогт хувааж болох уу?